Question

如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点M是菱形对角线DB延长线上的一点，把△AMB绕点A按逆时针方向旋转n度后恰好与△ACD重合．
（1）请直接写出n的值；
（2）若AD=1，试求点M在上述旋转过程中所经过的路线的长．

Answer 1

分析：（1）∵把△AMB绕点A按逆时针方向旋转与△ACD重合，可知旋转中心为点A，AB，AC为对应边，∠BAD就是旋转角，即n=60；
（2）点M的旋转路径是以A为圆心，AM为半径，60°的圆弧，AM=AC，计算菱形的对角线AC的长，用弧长公式求解．

解答：解：（1）∵把△AMB绕点A按逆时针方向旋转与△ACD重合，
可知旋转中心为点A，
AB，AC为对应边，∠BAD就是旋转角，
即n=60；

（2）∵四边形ABCD是菱形
∴AC平分∠BAD，AC⊥BD
∴∠1=

1

2

×60°=30°，∠2=90°-∠1=60°
由（1）得：∠MAC=60°
∴∠MAD=90°
在Rt△AMD中，AD=1，tan∠2=

AM

AD

即tan60°=

AM

1

∴AM=

3

∴l_弧MC=

60•π• 3

180

=

3 π

3

．
即点M在旋转过程中所经过的路线的长为

3 π

3

．

点评：本题考查了找旋转图形的对应边，旋转角的方法，应明确点绕旋转中心所走路径是圆弧．