Question

6．如图，在矩形AOBC中，已知B（4，0），A（0，3），F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与AC边交于点E．
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）记S=S_△OEF-S_△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）若∠OEF=90°，直接写出k的值．

Answer 1

分析 （1）设出E、F点的坐标，可分别表示出△AOE和△BOF的面积，再根据反比例函数k的几何意义可证明结论；
（2）由条件可分别表示出E、F的坐标，用k可表示出S，再根据函数的性质可求得其最大值，及取得最大值时的k的值；
（3）设BF=a，由OB=4，得到F（4，a），代入反比例解析式得：k=4a；由OA=3，得到3AE=k=4a，即AE=$\frac{4}{3}$a，EC=AC-AE=4-$\frac{4}{3}$a，CF=BC-BF=3-a．当∠OEF为直角时，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等得到三角形AOE与三角形ECF相似，由相似得比例，将各自的值代入列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，易得k的值．

解答 （1）证明：设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），△AOE与△FOB的面积分别为S₁，S₂，
由题意得y₁=$\frac{k}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{k}{{x}_{2}}$．
∴S₁=$\frac{1}{2}$x₁y₁=$\frac{1}{2}$k，S₂=$\frac{1}{2}$x₂y₂=$\frac{1}{2}$k．
∴S₁=S₂，即△AOE与△FOB的面积相等．

（2）解：∵B（4，0），A（0，3），且E、F为反比例函数图象上的两点，
∴E，F两点坐标分别为E（$\frac{k}{3}$，3），F（4，$\frac{k}{4}$），
∴S_△ECF=$\frac{1}{2}$EC•CF=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{1}{3}$k）（3-$\frac{1}{4}$k），
∴S_△EOF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△ECF=12-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k-S△ECF=12-k-S△ECF，
∴S=S_△OEF-S_△ECF=12-k-2S_△ECF=12-k-2×$\frac{1}{2}$（4-$\frac{1}{3}$k）（3-$\frac{1}{4}$k），
∴S=-$\frac{1}{12}$k²+k．
当k=-$\frac{1}{2×（-\frac{1}{12}）}$=6时，S有最大值，S_max=3．
即当k=6时，S有最大值3；

（3）设BF=a，由OB=4，得到F（4，a），代入反比例解析式得：k=4a；
由OA=3，得到3AE=k=4a，即AE=$\frac{4}{3}$a，
∴EC=AC-AE=4-$\frac{4}{3}$a，CF=BC-BF=3-a，
当∠OEF=90°时，可得∠AEO+∠FEC=90°，
又∠AEO+∠AOE=90°，且∠OAE=∠ECF=90°，
∴△AOE∽△CEF，
∴$\frac{AO}{CE}$=$\frac{AE}{CF}$，即$\frac{3}{4-\frac{4}{3}a}$=$\frac{\frac{4}{3}a}{3-a}$，
整理得16a²-75a+81=0，
解得：a₁=3，a₂=$\frac{27}{16}$，
故k=4a=12或k=4a=$\frac{27}{4}$．
当k=12时，F（3，4）与C点重合不符题意，舍弃，
综上所述，k的值是$\frac{27}{4}$．

点评 本题主要考查反比例函数综合题，熟悉反比例函数k的意义及二次函数的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标满足k=xy是解题的关键．