Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=

2

，BC=4

2

，求DC的长．

Answer 1

分析：要求DC的长，根据已知条件可将它转化为直角三角形的边，由勾股定理即可求得．

解答：解：解法一：
如图1，分别过点A，D
作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．（1分）
∴AE∥DF．
又AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形．
∴EF=AD=

2

．（2分）
∵AB⊥AC，∠B=45°，BC=4

2

，
∴AB=AC．
∴AE=EC=

1

2

BC=2

2

．
∴DF=AE=2

2

，CF=EC-EF=

2

（4分）
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，
∴DC=

DF2+CF2

=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

．（5分）

解法二：
如图2，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）
∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=180°-∠B-∠BAC=45度．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4

2

，
∴AC=BC•sin45°=4

2

×

2

2

=4（2分）
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=

2

，
∴DE=AE=1．
∴CE=AC-AE=3．（4分）
在Rt△DEC中，∠CED=90°，
∴DC=

DE2+CE2

=

12+32

=

10

．（5分）

点评：统观北京及全国各地中考试卷，几何中的计算往往会与两个知识点有关：①圆；②梯形．本题考点：等腰直角三角形的性质、特殊四边形的性质、勾股定理．