Question

如图，在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的

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4

，有如下结论：
①BC的边长等于a；
②折叠前的△ABC的面积可以等于

3

2

a²；
③折叠前的△ABC的面积可以等于

3

3

a²；
④折叠后，以A、B为端点的线段与中线CD一定平行且相等．
其中正确的结论是（　　）

• A、①③
• B、①②④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：设B′D与AC相交于O，根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等可得S_△ACD=S_△BCD=

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2

S_△ABC，然后根据重叠部分的面积求出点O是AC、B′D的中点，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCB′是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等AB′∥CD，B′C∥AD，B′C=AD，判断出④正确；再求出四边形BCB′D是平行四边形，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后求出平行四边形BCB′D是菱形，根据菱形的四条边都相等可得BC=BD=a，判断出①正确；假设S_△ABC=

3

2

a²成立，再由平行四边形的性质及三角形的面积公式求解，得出②正确，根据三角形的面积公式求出点C到AB的距离是

3

3

a²，然后解直角三角形求出垂足为AB的中点D，从而确定出翻折后点A、B重合，不符合题意，判断出③错误．

解答：解：如图，设B′D与AC相交于O，
∵CD是AB边的中线，
∴S_△ACD=S_△BCD=

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2

S_△ABC，
∵重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的

1

4

，
∴点O是AC、B′D的中点，
∴四边形ADCB′是平行四边形，
∴AB′∥CD，B′C∥AD，B′C=AD，故④正确；
∴B′C∥BD，B′C=BD，
∴四边形BCB′D是平行四边形，
由翻折变换的性质得，BC=B′C，
∴平行四边形BCB′D是菱形，
∴BC=BD=

1

2

AB=

1

2

×2a=a，故①正确；
若S_△ABC=

3

2

a²，
∵四边形AB′CD为平行四边形，
∴S_△COD=

1

2

S_△ACD=

1

4

S_△ABC，满足条件，即S_△ABC的值可以等于

3

2

a²，故②正确，
假设折叠前的△ABC的面积可以等于

3

3

a²，
设点C到AB的距离为h，
则

1

2

×2ah=

3

3

a²，
解得h=

3

3

a，

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3

a÷tan30°=

3

3

a÷

3

3

=a，
∴垂足为AB的中点D，
∴翻折后点A、B重合，不符合题意，
∴假设不成立，则③错误．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．

点评：本题考查的是翻折变换的性质及平行四边形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．