Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC，现有下列结论：①DE=DF； ②DE+DF=AD； ③DM平分∠ADF； ④AB+AC=2AE,其中正确的个数有( )

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故可得ED＝AD，DF＝AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM＝90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④证明△EBD≌△DFC和Rt△AED≌Rt△AFD，从而得到BE＝FC，AE＝AF，进而可证明④正确．

解：如图所示：连接BD、DC．

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∴①正确；

②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠FAD＝30°，

∵DE⊥AB，

∴∠AED＝90°，

∴ED＝AD，

同理：DF＝AD，

∴DE＋DF＝AD，

∴②正确；

③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°，

假设DM平分∠ADF，则∠ADM＝30°，则∠EDM＝90°，

又∵∠E＝∠BMD＝90°，

∴∠EBM＝90°，

∴∠ABC＝90°，

∵不知道∠ABC是否等于90°，

∴不能判定DM平分∠ADF，

∴③错误；

④∵DM是BC的垂直平分线，

∴DB＝DC，

在Rt△BED和Rt△CFD中，，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE＝FC，

同理可证，Rt△AED≌Rt△AFD，

∴AE＝AF，

∴AB＋AC＝AEBE＋AF＋FC＝2AE，

∴④正确，

故选：C．