Question

已知：如图，小正六边形的边长是1，大正六边形的边长的2，A是小正六边形的一个顶点，若小正六边形沿大正六边形内侧滚动一周，回到原来的位置，则点A的行程为

 

（结果保留π）．

Answer 1

分析：首先画出点A运动的大致路线，确定不同运动过程中，A点所走过的弧所在圆的圆心和半径，然后根据弧长公式求出它们的值，再相加即可．

解答：解：如右图；
当点A运动到A′时，A点运动的距离为以B为圆心，AB为半径，∠ABA′为圆心角的弧长；
即C₁=

60×π×1

180

=

π

3

；
当点A′运动到A″时，A点运动的距离为以C为圆心，CA′为半径，∠A′CA″为圆心角的弧长；
易求得CA′=2，∠A′CA″=60°，
则C₂=

60×π×2

180

=

2π

3

；
当点A″运动到A'''时，A点运动的距离为以D为圆心，DA'''为半径，∠A″DA'''为圆心角的弧长，
同上可求得C₃=C₁=

π

3

；
故从A到A'''，一共运动的距离为：C₁+C₂+C₃=

4π

3

；
当从点A'''到A时，A点运动的规律同上，故A点转动一周的距离为：

8π

3

．

点评：此题主要考查了正多边形的性质以及弧长的计算公式，找出A点不同运动过程的圆心和半径是解题的关键．