Question

已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，且DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：

解：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E

∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，

∴∠BCD=∠ACE．

∵DB⊥MN   ∴∠ABC+∠CBD=90°，

∵CE⊥CB   ∴∠ABC+∠CEA=90°，

∴∠CBD=∠CEA．

又∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB（AAS），

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB为等腰直角三角形，

∴BE=CB．

又∵BE=AE+AB，

∴BE=BD+AB，

∴BD+AB=CB．

（1）当MN绕A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并给予证明．

（2）当MN绕A旋转到如图（3）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请直接写出你的结论．

Answer 1

（1）AB﹣BD=CB．………2分

证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，

∵∠ACD=90°，  ∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，

∴∠BCD=∠ACE．

∵DB⊥MN，   ∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，

∵∠AFC=∠BFD，  ∴∠CAE=∠D，

又∵AC=DC，  ∴△ACE≌△DCB，………2分

∴AE=DB，CE=CB，  ∴△ECB为等腰直角三角形，  ∴BE=CB．

又∵BE=AB﹣AE，  ∴BE=AB﹣BD， ∴AB﹣BD=CB．………2分

（2）BD﹣AB=CB．………2分