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已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,且DB⊥MN于点B,如图(1).易证BD+AB=CB,过程如下:

解:过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E

∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°,

∴∠BCD=∠ACE.

∵DB⊥MN   ∴∠ABC+∠CBD=90°,

∵CE⊥CB   ∴∠ABC+∠CEA=90°,

∴∠CBD=∠CEA.

又∵AC=DC,

∴△ACE≌△DCB(AAS),

∴AE=DB,CE=CB,

∴△ECB为等腰直角三角形,

∴BE=CB.

又∵BE=AE+AB,

∴BE=BD+AB,

∴BD+AB=CB.

(1)当MN绕A旋转到如图(2)位置时,BD、AB、CB满足什么样关系式,请写出你的猜想,并给予证明.

(2)当MN绕A旋转到如图(3)位置时,BD、AB、CB满足什么样关系式,请直接写出你的结论.


(1)AB﹣BD=CB.………2分

证明:过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,

∵∠ACD=90°,  ∴∠ACE=90°﹣∠DCE,∠BCD=90°﹣∠ECD,

∴∠BCD=∠ACE.

∵DB⊥MN,   ∴∠CAE=90°﹣∠AFC,∠D=90°﹣∠BFD,

∵∠AFC=∠BFD,  ∴∠CAE=∠D,

又∵AC=DC,  ∴△ACE≌△DCB,………2分

∴AE=DB,CE=CB,  ∴△ECB为等腰直角三角形,  ∴BE=CB.

又∵BE=AB﹣AE,  ∴BE=AB﹣BD, ∴AB﹣BD=CB.………2分

(2)BD﹣AB=CB.………2分


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