【题目】如图,△OAC中,以O为圆心,OA为半径作⊙O,作OB⊥OC交⊙O于B,垂足为O,连接AB交OC于点D,∠CAD=∠CDA.
(1)判断AC与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若OA=5,OD=1,求线段AC的长.
【答案】(1)线段AC是⊙O的切线。理由见解析(2)12
【解析】
解:(1)线段AC是⊙O的切线。理由如下:
∵∠CAD=∠CDA(已知),∠BDO=∠CDA(对顶角相等),
∴∠BDO=∠CAD(等量代换)。
又∵OA=OB(⊙O的半径),∴∠B=∠OAB(等边对等角)。
∵OB⊥OC(已知),∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°,即∠OAC=90°。
∴线段AC是⊙O的切线。
(2)设AC=x.
∵∠CAD=∠CDA(已知),∴DC=AC=x(等角对等边)。
∵OA=5,OD=1,∴OC=OD+DC=1+x;
∵由(1)知,AC是⊙O的切线,
∴在Rt△OAC中,根据勾股定理得,OC2=AC2+OA2,即(1+x)2=x2+52,解得x=12。
∴AC=12.
(1)根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD;然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知
∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°,即∠OAC=90°。所以线段AC是⊙O的切线。
(2)根据“等角对等边”可以推知AC=DC,所以由图形知OC=OD+CD;然后利用(1)中切线的性质可以在在Rt△OAC中,根据勾股定理来求AC的长度。
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【题目】已知正方形ABCD与正方形CEFG,M是AF的中点,连接DM,EM.
(1)如图1,点E在CD上,点G在BC的延长线上,请判断DM,EM的数量关系与位置关系,并直接写出结论;
(2)如图2,点E在DC的延长线上,点G在BC上,(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论;
(3)将图1中的正方形CEFG绕点C旋转,使D,E,F三点在一条直线上,若AB=13,CE=5,请画出图形,并直接写出MF的长.
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【题目】某中学采用随机的方式对学生掌握安全知识的情况进行测评,并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请根据有关信息解答:
(1)接受测评的学生共有________人,扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为________°,并补全条形统计图;
(2)若该校共有学生1200人,请估计该校对安全知识达到“良”程度的人数;
(3)测评成绩前五名的学生恰好3个女生和2个男生,现从中随机抽取2人参加市安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出抽到1个男生和1个女生的概率.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将该矩形沿AE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作FG∥CD,交AE于点G,连接DG.
(1)求证:四边形DEFG为菱形;
(2)若CD=8,CF=4,求的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,有一个△ABC,顶点,,.
(1)画出△ABC 关于 y 轴的对称图形(不写画法)
点A 关于 x 轴对称的点坐标为_____________;
点 B 关于 y 轴对称的点坐标为_____________;
点 C 关于原点对称的点坐标为_____________;
(2)若网格上的每个小正方形的边长为 1,求△ABC 的面积.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,点P为AB的中点,E为BC上一动点,过P点作FP⊥PE交AC于F点,经过P、E、F三点确定⊙O.
(1)试说明:点C也一定在⊙O上.
(2)点E在运动过程中,∠PEF的度数是否变化?若不变,求出∠PEF的度数;若变化,说明理由.
(3)求线段EF的取值范围,并说明理由.
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【题目】甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行,甲骑自行车从A地到B地,乙驾车从B地到A地,他们分别以不同的速度匀速行驶,已知甲先出发6分钟后,乙才出发,在整个过程中,甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示,当乙到达终点A时,甲还需 分钟到达终点B.
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【题目】如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20米,如果水位上升3米,则水面CD的宽是10米.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;
(2)当水位在正常水位时,有一艘宽为6米的货船经过这里,船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽).问:此船能否顺利通过这座拱桥?
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