Question

9．已知△ABC、△COD均为等边三角形，点O是△ABC内的一点，且∠AOB=110°，∠BOC=α．
（1）如图（1），说明△BOC≌△ADC的理由；
（2）如图（2），当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）如图（1），填空：当△AOD为等腰三角形时，α的度数为125°或110°或140°．（请直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△BOC≌△ADC即可得出结论；
（2）由旋转的性质得出△BOC≌△ADC，得出∠ADC=∠BOC=150°，由等边三角形的性质得出∠ODC=60°，求出∠ADO=90°即可；
（3）分三种情况：①AO=AD时；②OA=OD时；③OD=AD时；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果．

解答 解：（1）∵△ABC，△ODC是等边三角形，
∴CB=CA，CO=CD，∠BCA=∠OCD=60°，
∴∠BCO=∠ACD，
∴△BOC≌△ADC．

（2）结论：△ADO是直角三角形．
理由：∵△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC，
∵∠BOC=α=150°，
∴∠ADC=150°，
∵∠CDO=60°，
∴∠ADO=90°，
∴△ADO是直角三角形．

（3）解：分三种情况：
①AO=AD时，∠AOD=∠ADO．
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°
∴α=125°；
②OA=OD时，∠OAD=∠ADO．
∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，
∴α-60°=50°
∴α=110°；
③OD=AD时，∠OAD=∠AOD．
∵190°-α=50°
∴α=140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
故答案为125°或110°或140°．

点评 本题是三角形综合题目，以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．