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    已知顶点为A（1，5）的抛物线y=ax2+bx+c经过点B（5，1）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）如图（1），设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD的最小周长；
    （3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD．设点P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PQR．
    ①当△PQR与直线CD有公共点时，求x的取值范围；
    ②在①的条件下，记△PQR与△COD的公共部分的面积为S．求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．
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    分析：（1）可设顶点式，将顶点为A（1，5），点B（5，1）代入求出抛物线的解析式；
    （2）可以过y，x轴分别做A，B的对称点A′，B′，然后连A′D，B′C，当这四点在同一直线时，周长最小，求出即可；
    （3）作B关于x轴对称点B′，A关于y轴对称点A′，连接A′B′，与x轴，y轴交于C、D点，此时四边形ABCD周长最小，求出CD的解析式，求出CD与直线y=x的交点坐标，得到△PQR与直线y=x有公共点时x的取值范围，以及公共部分的面积S与x之间的函数关系式．
    解答：解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，5），
    ∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+5，
    将点B（5，1）代入，得a（5-1）2+5=1，
    解得a=-
    1
    4
    ，
    ∴y=-
    1
    4
    x2+
    1
    2
    x+
    19
    4
    ；

    （2）可以过y，x轴分别做A，B的对称点A′，B′，然后连A′D，B′C，
    显然A′（-1，5），B′（5，-1），连接A′B′分别交x轴、y轴于点C、D两点，
    ∵DA=DA′，CB=CB′，
    ∴此时四边形ABCD的周长最小，最小值就是A′B′+AB，
    而A′B′=
    		(5+1) 2+(1+5) 2
    =6
    		2
    ，
    AB=
    		(5-1) 2+(1-5) 2
    =4
    		2
    ，
    ∴A′B′+AB=10
    		2
    ，
    四边形ABCD的最小周长为10
    		2
    ；精英家教网

    （3）①点B关于x轴的对称点B′（5，-1），点A关于y轴的对称点A′（-1，5），连接A′B′，与x轴，y轴交于C，D点，
    ∴CD的解析式为：y=-x+4，
    联立
    y=-x+4
    y=x
    ，
    得：
    x=2
    y=2
    ，
    ∵点P在y=x上，点Q是OP的中点，
    ∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点，则2≤x≤4．
    故x的取值范围是：2≤x≤4．
    ②如图：
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    点E（2，2），当EP=EQ时，x-2=2-
    1
    2
    x，得：x=
    8
    3
    ，
    当2≤x≤
    8
    3
    时，S=
    1
    2
    PR•RQ-
    1
    2
    EP2=
    1
    2
    （x-
    1
    2
    x）•（x-
    1
    2
    x）-
    1
    2
    •
    		2
    （x-2）•
    		2
    （x-2），
    S=-
    7
    8
    x2+4x-4，
    当x=
    16
    7
    时，S最大=
    4
    7
    ．
    当
    8
    3
    ≤x≤4时，S=
    1
    2
    EQ2=
    1
    2
    •
    		2
    （2-
    1
    2
    x）•
    		2
    （2-
    1
    2
    x），
    S=
    1
    4
    （x-4）2，
    当x=
    8
    3
    时，S最大=
    4
    9
    ．
    故S的最大值为：
    4
    7
    ．
    点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用顶点式求出二次函数的解析式，（2）确定四边形的周长，（3）根据对称性求出CD的解析式，然后求出x的取值范围和S与x的函数关系．
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    精英家教网如图，已知顶点为P的抛物线y=
    12
    x2+bx+c    经过点A（-3，6），并x轴交于B（-1，0），C两点．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）求四边形ABPC的面S；
    （3）试判断四边形ABPC的形状，并说明理由．

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    如图，已知顶点为C的抛物线y=ax2-4ax+c经过点（-2，0），与y轴交于点A（0，3），点B是抛物线上的点，且满足AB∥x轴．
    （1）求抛物线的表达式；
    （2）求抛物线上关于原点中心对称的两个点的坐标；
    （3）在线段AB上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图，已知顶点为P的抛物线数学公式经过点A（-3，6），并x轴交于B（-1，0），C两点．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）求四边形ABPC的面S；
    （3）试判断四边形ABPC的形状，并说明理由．

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    （3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD．设点P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PQR．
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    ②在①的条件下，记△PQR与△COD的公共部分的面积为S．求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．

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