【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b2>4ac,②abc<0,③2a+b﹣c>0,④a+b+c<0.其中正确的是_____.
【答案】①④
【解析】
抛物线与x轴由两个交点,则b2﹣4ac>0,即b2>4ac,即可判断①;由二次函数图象可知,a<0,b<0,c>0,所以abc>0,即可判断②;对称轴:直线x=﹣1,b=2a,所以2a+b﹣c=4a﹣c,2a+b﹣c=4a﹣c<0,即可判断③;对称轴为直线x=﹣1,抛物线与x轴一个交点﹣3<x1<﹣2,则抛物线与x轴另一个交点0<x2<1,当x=1时,y=a+b+c<0,即可判断④.
解:①∵抛物线与x轴由两个交点,
∴b2﹣4ac>0,
即b2>4ac,
所以①正确;
②由二次函数图象可知,
a<0,b<0,c>0,
∴abc>0,
故②错误;
③∵对称轴:直线x=﹣=﹣1,
∴b=2a,
∴2a+b﹣c=4a﹣c,
∵a<0,4a<0,
c>0,﹣c<0,
∴2a+b﹣c=4a﹣c<0,
故③错误;
④∵对称轴为直线x=﹣1,抛物线与x轴一个交点﹣3<x1<﹣2,
∴抛物线与x轴另一个交点0<x2<1,
当x=1时,y=a+b+c<0,
故④正确.
故答案为①④.
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【题目】已知,如图1,O是坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点,AB⊥y轴于点A,AB=2,AO=4,OC=5,点D是线段AO上一动点,连接CD、BD.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)如图2,抛物线的对称轴分别交BD、CD于点E、F,当△DEF为等腰三角形时,求出点D的坐标;
(3)当∠BDC的度数最大时,请直接写出OD的长.
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【题目】5月13日,周杰伦2017“地表最强”世界巡回演唱会在奥体中心盛大举行,1号巡逻员从舞台走往看台,2号巡逻号从看台走往舞台,两人同时出发,分别以各自的速度在舞台与看台间匀速走动,出发1分钟后,1号巡逻员发现对讲机遗忘在出发地,便立即返回出发地,拿到对讲机后(取对讲机时间不计)立即再从舞台走往看台,结果1号巡逻员先到达看台,2号巡逻员继续走到舞台,设2号巡逻员的行驶时间为x(min),两人之间的距离为y(m),y与x的函数图象如图所示,则当1号巡逻员到达看台时,2号巡逻员离舞台的距离是________米.
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【题目】如图,AB为直径,C、D是上点,连结CB并延长与AD所在直线交于点F,,垂足为点E,连结CE,且.
(1)证明:CE与相切;
(2)若,,求AD的长度.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=2.AD⊥BC于D.E为边BC上的一个(不与B、C重合)点,且AE⊥EF于E,∠EAF=∠B,AF相交于点F.
(1)填空:AC=_____;∠F=______.
(2)当BD=DE时,证明:△ABC≌△EAF.
(3)△EAF面积的最小值是____.
(4)当△EAF的内心在△ABC的外部时,直接写出AE的范围_____.
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【题目】若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法,探究分段函数的图象与性质.列表:
x | … | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |||||||||
y | … | 1 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | … |
描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点,如图所示.
(1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象;
(2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:
①点,,,在函数图象上, , ;(填“>”,“=”或“<”)
②当函数值时,求自变量x的值;
③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点,,且,求的值;
④若直线与函数图象有三个不同的交点,求a的取值范围.
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【题目】抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1,且经过点(﹣1,0).若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t=0(t为实数)在﹣1<x<4的范围内有实数根,则t的取值范围是________.
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【题目】如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,P是斜边AC上一个动点,以BP为直径作⊙O交BC于点D,与AC的另一个交点为E(点E在点P右侧),连结DE、BE,已知AB=3,BC=6.
(1)求线段BE的长;
(2)如图2,若BP平分∠ABC,求∠BDE的正切值;
(3)是否存在点P,使得△BDE是等腰三角形,若存在,求出所有符合条件的CP的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:BD=CD;
(2)不在原图添加字母和线段,对△ABC只加一个条件使得四边形AFBD是菱形,写出添加条件并说明理由.
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