Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当四边形ADCE是一个正方形时，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）求出∠BAD=∠DAC，∠MAE=∠CAE，求出∠DAE的度数，求出∠AEC=∠ADC=∠EAD=90°，根据矩形的判定判断即可；
（2）求出AD=DC，得出∠ACD=∠DAC=45°，求出∠BAC=90°，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE．
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=

1

2

∠MAC+

1

2

∠CAB=

1

2

×180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．

（2）证明：∵四边形ADCE是正方形，
∴DC=AD，
∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
即△ABC的形状是等腰直角三角形．

点评：本题考查了矩形性质，等腰直角三角形，正方形性质的应用，通过做此题培养了学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．