Question

17．已知，如图，二次函数y=ax²+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$对称．
（1）A坐标为（-3，0）B坐标为（1，0）；H坐标为（-1，2$\sqrt{3}$）；
（2）求二次函数解析式；
（3）在x轴上找一点P，使得|PA-PH|最大，求P点坐标；
（4）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，0），B（x₂，0），根据交点和系数的关系得出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-2}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-3}\end{array}\right.$，解得x₁=-3，x₂=1，从而求得A（-3，0），B（1，0），由直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$可知，tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得OC=$\sqrt{3}$，作HE⊥AB于E，根据三角形中位线的性质求得H的纵坐标，根据A、B的坐标求得H的横坐标；
（2）把H点的坐标代入y=ax²+2ax-3a（a≠0），求得a的值即可；
（3）根据|PA-PH|≤AH，即可求得P和A重合，即可求得P的坐标；
（4）根据待定系数法求出过A和H点的直线解析式，因为过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，所以直线BK的斜率和直线AH的相等，又过B，所以可求出直线BK的解析式，再把直线l的解析式和BK的解析式联立，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

解答 解：（1）设A（x₁，0），B（x₂，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-2}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-3}\end{array}\right.$，解得x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0），B（1，0），
由直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$可知，tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3=$\sqrt{3}$，
作HE⊥AB于E，如图1，
∴OC∥HE，
∵HC=BC，
∴HE=2OC=2$\sqrt{3}$，
∵$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-1，
∴H（-1，2$\sqrt{3}$）；
故答案为（-3，0），（1，0），（-1，2$\sqrt{3}$）；
（2）把H（-1，2$\sqrt{3}$）代入y=ax²+2ax-3a得，2$\sqrt{3}$=a-2a-3a，
解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴二次函数解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\sqrt{3}$x+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（3）∵|PA-PH|≤AH，
∴当P点和A点重合时|PA-PH|最大，
∴P（-3，0）；
（4）设直线AH的解析式为y=kx+b，把A和H点的坐标代入求出k=$\sqrt{3}$，b=3$\sqrt{3}$，
∵过点B作直线BK∥AH，
∴直线BK的解析式为y=mx+n中的m=$\sqrt{3}$，
又因为B在直线BK上，代入求出n=-$\sqrt{3}$，
∴直线BK的解析式为：y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴交点K的坐标是（3，2$\sqrt{3}$），
则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2$\sqrt{3}$），
∴HN+MN的最小值是MB，KD=KE=2$\sqrt{3}$，
过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，KD=KE=2$\sqrt{3}$，
则QM=MK，QE=EK=2$\sqrt{3}$，AE⊥QK，
∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=$\sqrt{B{K}^{2}+Q{K}^{2}}$=8，
∴HN+NM+MK的最小值为8．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与x轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．