Question

如图，已知在□ABCD中，AB⊥AC，AB=OA，BC=,对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点EF.

（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试证明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.

Answer 1

（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质证得△AOF≌△COE即可；（3）45度.

试题分析：（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质证得△AOF≌△COE即可；
（3）EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，可根据勾股定理求得AC=2，则OA=1=AB，又AB⊥AC，即可求得结果．
（1）当∠AOF=90°时，AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形．
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中
∵∠FAO=∠ECO，AO=CO，∠AOF=∠ECO
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴AF=EC；
（3）四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE

由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，
∴EF与BD互相平分．
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．
在Rt△ABC中，
∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．
点评：本题知识点较多，综合性强，是中考常见题，难度不大，学生需熟练掌握平面图形的基本概念.