Question

【题目】已知抛物线的顶点坐标为，经过点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，直线交抛物线于，两点，若，求的值；

（3）如图2，将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，交轴的负半轴于点，点在抛物线上.

①求点的坐标（用含的式子表示）；

②若，求，的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①点的坐标为；②.

【解析】

（1）根据顶点坐标设解析式为y=ax2-2，把B点坐标代入可求出a的值，即可得答案；（2）设直线交轴点，可得B的坐标为（0，4），可得AB的长，根据可得，联立二次函数和一次函数的解析式可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，进而可得答案；（3）①根据平移的性质可得抛物线C1的解析式，根据当F在抛物线C1上，可得，可得点P的坐标，令y=0，即可求出E点坐标；②作轴于点，根据E、F坐标可得EH=FH，可得，根据∠FEO=2∠EFP及平行线的性质可得∠FPO=∠EFP =22.5°，设交轴于点，可得PD=DF=OH，根据等腰直角三角形的性质可用a表示出PD的长，OH=a，列方程求出可得a的值，把a代入即可求出m的值.

（1）已知抛物线的顶点坐标为，

∴设抛物线的解析式为，

把代入得：6=16a-2，

解得：，

∴抛物线的解析式为.

（2）设直线交轴点，则点的坐标，

∴.

∵，

∴.

∴.

由得，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴．

（3）①依题意得抛物线的解析式为.

点在抛物线上，

∴，

∴顶点的坐标为，

令，即.

∴，（舍去），

∴点的坐标为.

②作轴于点，

∵E（2-a，0），F（a，2a-2），

∴，

∴，

又，

∴，

∵FH//y轴，

∴∠FPO=∠PFH=22.5°，

∴∠FPO=∠EFP，

∴PD=FD，

设交轴于点，过D作DG⊥FH于G，则DG=OH，

∵∠EFH=45°，

∴，

∵∠FEH=45°，a>2,

∴OD=OE=a-2，

∴PD=a-2-=，

∵HO=a，

∴，

∴，（舍去），

∴.