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如图,宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥,桥面(视为水平的)与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米,桥的单孔跨度(即两主塔之间的距离)900米,这里水面的海拔高度是74米.若过主塔塔顶的主悬钢索(视为抛物线)最低点离桥面(视为直线)的高度为0.5米,桥面离水面的高度为19米.请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长.(结果精确到0.1米)

【答案】分析:抛物线问题一般应放在直角坐标系里解决,建立适当的坐标系,可以使抛物线解析式简便,简化运算.常见方法有:以抛物线对称轴作为y轴(抛物线解析式缺少一次项),以抛物线顶点为坐标系的原点(抛物线解析式只有二次项),等等.选择了坐标系,按照某些点的相对位置,象限确定点的坐标,求抛物线解析式,从而用抛物线解析式解决实际问题.
解答:解:(方法一)如图,以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点坐标原点,以桥面(上竖直钢拉索与桥面连接点)所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,
主塔塔顶距离桥面可由海拔高度计算:187.5-74-19=94.5m,BC纵坐标都是94.5
由于两塔之间距离为900m,BC两点与A点距离相等,B横坐标为-450,C点横坐标为
450
则A(0,0.5),B(-450,94.5),C(450,94.5),
由题意,设抛物线为:y=ax2+0.5,
将C(450,94.5)代入求得:


当x=350时,y=57.4.
∴离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长都约为57.4米.

(方法二)如图,以抛物线形主悬钢索最低点为原点,以平行于桥面的(竖直钢拉索与桥面连接点所在的)直线为x轴建立平面直角坐标系,
则B(-450,94),C(450,94),
设抛物线为:y=ax2
将C(450,94)代入求得:


距离主塔100米处点的横坐标是450-100=350,距离主塔50米处点的横坐标是
450-50=400
当x=350时,y=56.9,当x=400时,y=74.3,(6分)
∴56.9+0.5=57.4,74.3+0.5=74.8.
∴离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长约为57.4米.
点评:本题建立直角坐标系有多种方法,抛物线的解析式形式也有多种,但是它们的二次项系数相同.
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