已知圆P的圆心在反比例函数图象上,并与x轴相交于A、B两点.且始终与y轴相切于定点C(0,1).
(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;
(2)若二次函数图象的顶点为D,问当k为何值时,四边形ADBP为菱形.
解:(1)连结PC、PA、PB,过P点作PH⊥x轴,垂足为H 1分 ∵⊙P与y轴相切于点C(0,1), ∴PC⊥y轴. ∵P点在反比例函数的图象上, ∴P点坐标为(k,1) 2分 ∴PA=PC=k. 在Rt△APH中,AH==, ∴OA=OH-AH=k-. ∴A(k-,0) 3分 ∵由⊙P交x轴于A、B两点,且PH⊥AB,由垂径定理可知,PH垂直平分AB. ∴OB=OA+2AH=k-+2=k+, ∴B(k+,0) 4分 故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k. 可设该抛物线解析式为y=a+h 5分 又抛物线过C(0,1),B(k+,0),得:
解得a=1,h=1-k2 7分 ∴抛物线解析式为y=+1-k2 8分 (2)由(1)知抛物线顶点D坐标为(k,1-k2) ∴DH=k2-1. 若四边形ADBP为菱形.则必有PH=DH 10分 ∵PH=1,∴k2-1=1. 又∵k>1,∴k= 11分 ∴当k取时,PD与AB互相垂直平分,则四边形ADBP为菱形 12分 |
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k | x |
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