Question

10．如图，将抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}$x²+2x沿x轴对称后，向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线C₂，若抛物线C₁的顶点为A，点P是抛物线C₂上一点，则△POA的面积的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 3.5
• C． 4
• D． 4.5

Answer 1

分析 首先求得平移后的解析式，进而求得顶点A的坐标和P点的坐标，解直角三角形求得P点到直线OA的距离，然后根据三角形面积即可求得．

解答 解：将抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}$x²+2x沿x轴对称后，向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线C₂：y=-$\frac{1}{2}（$x-3）²+2（x-3）-5=-$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{7}{2}$，
∵y=$\frac{1}{2}$x²+2x=$\frac{1}{2}$（x+2）²-2，
∴A（-2，-2），
∴直线OA为y=x，
∴要使△POA的面积最小，则点P在平行于直线OA，且与抛物线C₂相切的直线上，
设平行于直线OA，且抛物线C₂相切的直线为y=x+k，
解x+k=-$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{7}{2}$，
整理得$\frac{1}{2}$x²+k+$\frac{7}{2}$=0，
∵△=0，
∴0-4×$\frac{1}{2}$（k+$\frac{7}{2}$）=0，
∴k=-$\frac{7}{2}$，
∴切线为y=x-$\frac{7}{2}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{7}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（0，-$\frac{7}{2}$），
点P到直线OA的距离为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{7}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
∴POA的面积的最小值为：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{7\sqrt{2}}{4}$=3.5，
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及解直角三角形等，根据平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得P点的坐标是解题的关键．