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    已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
    （1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG+DC=AD；
    （2）如图2，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是
     
    ；
    （3）在（2）的条件下，若AG=5
    		2
    ，DC=3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG=
    3
    2
    ，求线段PQ的长．
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    分析：（1）首先证明∠CBE=∠DAC，∠AGF=∠BAD可推出FA=FG；
    （2）与（1）证明方法同理；
    （3）首先证明△FDC为等腰直角三角形，然后证明四边形DFHB为矩形．根据三角函数的计算得出．
    解答：精英家教网证明：
    （1）∵∠ADB=90°∠ABC=45°，
    ∴∠BAD=∠ABC=45°，
    ∴AD=BD
    ∵∠BEC=90°，
    ∴∠CBE+∠C=90°，
    ∵∠DAC+∠C=90°，
    ∴∠CBE=∠DAC，
    ∵GF∥BD，
    ∴∠AGF=∠ABC=45°，
    ∴∠AGF=∠BAD，
    ∴FA=FG，
    ∴FG+DC=FA+DF=AD；

    解：（2）FG-DC=AD；

    （3）如图，
    ∵∠ABC=135°，
    ∴∠ABD=45°，
    ∵∠ADB=90°，
    ∴∠DAB=∠DBA=45°，
    ∴AD=BD，
    ∵FG∥BC，
    ∴∠G=∠DBA=∠DAB，
    ∴AF=FG
    ∴AG=5
    		2
    ，FG2+AF2=AG2，
    ∴FG=AF=5
    ∵DC=3由（2）知FG-DC=AD，
    ∴AD=BD=2，BC=1，DF=3，
    ∴△FDC为等腰直角三角形
    ∴FC=
    		DF2+DC2
    =3
    		2
    ，
    分别过B，N作BH⊥FG于点H，NK⊥BG于点K，
    ∴四边形DFHB为矩形，
    ∴HF=BD=2  BH=DF=3，
    ∴BH=HG=3，
    ∴BG=
    		BH2+HG2
    =3
    		2

    ∵sin∠G=
    NK
    NG
    ，
    ∴NK=
    3
    2
    ×
    		2
    2
    =
    3
    		2
    4
    ，
    ∴BK=
    9
    		2
    4

    ∵∠MBN=∠HBG=45°，
    ∴∠MBH=∠NBK，
    ∵∠MHB=∠NKB=90°，
    ∴△MBH∽△NBK
    ∴
    MH
    NK
    =
    BH
    BK
    ，
    ∴MH=1，
    ∴FM=1，
    ∵BC∥FG，
    ∴∠BCF=∠CFN，
    ∵∠BPC=∠MPF CB=FM，
    ∴△BPC≌△MPF，
    ∴PC=PF=
    1
    2
    FC=
    3
    		2
    2
    ，
    ∵∠BQC=∠NQF，
    ∴△BCQ∽△NFQ，
    ∴
    BC
    NF
    =
    CQ
    FQ
    ，
    ∴
    CQ
    FQ
    =
    1
    5-
    3
    2
    =
    2
    7
    ，
    ∴CQ=
    2
    9
    FC=
    2
    9
    ×3
    		2
    =
    2
    		2
    3
    ，
    ∴PQ=CP-CQ=
    3
    		2
    2
    -
    2
    		2
    3
    =
    5
    		2
    6
    ．
    点评：本题考查直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定以及综合分析、解答问题的能力，涉及到三角函数的计算，难度偏难．
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    （1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG+DC=AD；
    （2）如图2，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是
    FG=DC+AD
    ．（只写答案）

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    27、已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．
    （1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°．
    求证：①△BDF≌△ADC；
    ②FG+DC=AD；
    （2）如图2，若∠ABC=135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．

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    科目：初中数学 来源：黑龙江省中考真题 题型：解答题

    已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F。
    （1）如图（1），若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交AB于点G，求证：FG+DC=AD；
    （2）如图（2），若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交AB的延长线于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____；
    （3）在（2）的条件下，若，DC=3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图（3）），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若，求线段PQ的长。

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    科目：初中数学 来源：2009年全国中考数学试题汇编《三角形》（12）（解析版） 题型：解答题

    （2009•哈尔滨）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
    （1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG+DC=AD；
    （2）如图2，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是______；
    （3）在（2）的条件下，若AG=，DC=3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG=，求线段PQ的长．

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