Question

如图：直线y=ax+b分别与x轴，y轴相交于A、B两点，与双曲线y=

k

x

，（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，2），PC=3．
（1）求双曲线对应的函数关系式；
（2）若点Q在双曲线上，且QH⊥x轴于点H，△QCH与△AOB相似，请求出点Q的坐标．

Answer 1

（1）∵点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，2），
设y₁=kx+b，
∴

-4k+b=0 b=2

，
解得：

k= 1 2 b=2

，
故直线AB解析式为：y₁=

1

2

x+2，
∵PC⊥x轴，PC=3，
∴3=

1

2

x+2，
解得：x=2，
故P（2，3），
则3=

K

2

，
解得k=6，
故双曲线的解析式为：y=

6

x

；

（2）根据Q点在双曲线上，设Q点的坐标为（m，

6

m

），
由A，B点的坐标可得：BO=2，AO=4，CO=2，
当△QCH∽△BAO时，

QH

BO

=

CH

AO

，

6 m

2

=

m-2

4

，
解得：m₁=1+

13

，m₂=1-

13

＜0（不合题意舍去），
则

6

m

=

6

1+ 13

=

13 -1

2

，
故Q点的坐标为：（

13

+1，

13 -1

2

）；
当△QCH∽△ABO时，

CH

BO

=

QH

AO

，

m-2

2

=

6 m

4

，
解得：m₁=-1＜0（不合题意舍去），m₂=3，
则

6

m

=

6

3

=2，
故Q点的坐标为：（3，2）．
综上所述：Q点的坐标为：（

13

+1，

13 -1

2

）；（3，2）．