Question

9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c分别交x轴于A（4，0）、B（-1，0），交y轴于点C（0，-3），过点A的直线y=-$\frac{3}{4}$x+3交抛物线于另一点D．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）若点P位x轴上的一个动点，点Q在线段AC上，且Q到x轴的距离为$\frac{9}{5}$，连接PC、PQ，当△PCQ的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的结论下，连接PD，在平面内是否存在△A₁P₁D₁，使△A₁P₁D₁≌△APD（点A₁、P₁、D₁的对应点分别是A、P、D，A₁P₁平行于y轴，点P₁在点A₁上方），且△A₁P₁D₁的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A₁的横坐标m，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线与x轴的两个交点为（4，0）和（-1，0），所以可设抛物线的解析式为y=a（x-4）（x+1），然后把（0，3）代入解析式即可求出抛物线的解析式，联立直线解析式和抛物线解析式即可求出D的坐标；
（2）要求△PCQ的最小值，由于点Q是固定点，所以CQ是固定不变的，所以还需要求出PC+PQ最短即可，作出点C关于x轴的对称点E，连接EQ后与x轴交于点P，此时P点能够使得PC+PQ最短；
（3）由题意画出图形可知，点D1的位置有两种情况，一种是D₁在直线A₁P₁的左边，另一种是D₁在直线A₁P₁的右边，另外△A₁P₁D₁的两个顶点恰好落在抛物线上有三种情况，一是A₁与P₁在抛物线上，二是P₁与D₁在抛物线上，三是A₁与D₁在抛物线上，然后根据题意用含m的式子表示A₁、P₁、D₁的坐标出来，然后利用全等三角形的性质即可求出m的值．

解答 解：（1）∵抛物线经过A（4，0）和B（-1，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-4）（x+1），
把C（0，-3）代入y=a（x-4）（x+1），
∴-3=-4a，
∴a=$\frac{3}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}$（x-4）（x+1）=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{9}{4}x-3}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$，
解得：x=-2或x=4（舍去），
把x=-2代入y=-$\frac{3}{4}$x+3，
y=$\frac{9}{2}$，
∴D的坐标为（-2，$\frac{9}{2}$）；

（2）要使△PCQ的周长最小，
即只需要PC+PQ最小，
由题意知：Q到x轴的距离为$\frac{9}{5}$，
即点Q的纵坐标为-$\frac{9}{5}$，
设直线AC的解析式为y=k₁x+b₁，
把A（4，0）和C（0，-3）代入y=k₁x+b₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4{k}_{1}+{b}_{1}}\\{-3={b}_{1}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1=}\frac{3}{4}}\\{{b}_{1}=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3，
把y=-$\frac{9}{5}$代入y=$\frac{3}{4}$x-3，
∴x=$\frac{8}{5}$，
∴Q的坐标为（$\frac{8}{5}$，-$\frac{9}{5}$），
设C关于x轴对称的点为E，如图1，
∴E的坐标为（0，3），
设直线EQ的解析式为y=k₂x+b₂，
把Q（$\frac{8}{5}$，-$\frac{9}{5}$）和E（0，3）代入y=k₂x+b₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{5}=\frac{8}{5}{k}_{2}+{b}_{2}}\\{3={b}_{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-3}\\{{b}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴直线EQ的解析式为y=-3x+3，
令y=0代入y=-3x+3，
∴x=1，
∴P的坐标为（1，0）时，△PCQ的周长最小；

（3）过点D作DF⊥x轴于点F，
过点D₁作D₁F₁⊥A₁P₁，交A₁P₁的延长线于点F₁，
∵△A₁P₁D₁≌△APD，
∴AF=A₁F₁=6，PF=P₁F₁=3，DF=$\frac{9}{2}$，
当A₁与P₁在抛物线上时，
∵A₁P₁∥y轴，
∴此情况不存在；

当P₁与D₁在抛物线上时，
∵A₁的横坐标为m，
∴P₁的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3），
若点D₁在直线A₁P₁的右侧时，如图2，
此时D的横坐标为m+$\frac{9}{2}$，
把x=m+$\frac{9}{2}$代入y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，
∴D₁的坐标为（m+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{33}{16}$），
∴F₁的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{33}{16}$），
∴P₁F₁=（$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{33}{16}$）-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）
=$\frac{27}{4}$m+$\frac{81}{16}$，
∴$\frac{27}{4}$m+$\frac{81}{16}$=3，
∴m=-$\frac{11}{36}$，
若点D₁在直线A₁P₁的左侧时，如图3，
此时D的横坐标为m-$\frac{9}{2}$，
把x=m-$\frac{9}{2}$代入y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，
∴D₁的坐标为（m+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²-9m+$\frac{357}{16}$），
∴F₁的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m²-9m+$\frac{357}{16}$），
∴P₁F₁=（$\frac{3}{4}$m²-9m+$\frac{357}{16}$）-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）
=-$\frac{27}{4}$m+$\frac{405}{16}$=3，
∴m=$\frac{119}{36}$，

当A₁与D₁在抛物线上时，
∵A₁的横坐标为m，
∴A₁的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3），
若点D₁在直线A₁P₁的右侧时，如图2，
此时D的横坐标为m+$\frac{9}{2}$，
把x=m+$\frac{9}{2}$代入y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，
∴D₁的坐标为（m+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{33}{16}$），
∴F₁的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{33}{16}$），
∴A₁F₁=（$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{33}{16}$）-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）
=$\frac{27}{4}$m+$\frac{81}{16}$，
∴$\frac{27}{4}$m+$\frac{81}{16}$=6，
∴m=$\frac{5}{36}$，
若点D₁在直线A₁P₁的左侧时，如图3，
此时D的横坐标为m-$\frac{9}{2}$，
把x=m-$\frac{9}{2}$代入y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，
∴D₁的坐标为（m-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²-9m+$\frac{357}{16}$），
∴F₁的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m²-9m+$\frac{357}{16}$），
∴A₁F₁=（$\frac{3}{4}$m²-9m+$\frac{357}{16}$）-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）
=-$\frac{27}{4}$m+$\frac{405}{16}$=6，
∴m=$\frac{103}{36}$，
综上所述，当m=-$\frac{11}{36}$、$\frac{119}{36}$、$\frac{5}{36}$、$\frac{103}{36}$时，能满足题意．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，联立解析式求交点问题，全等三角形的性质，轴对称的性质等知识，综合程度高，难度较大，需要学生利用分类的思想进行解答．