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(12分)如图1,在平面上,给定了半径为的⊙,对于任意点,在射线上取一点,使得·,这种把点变为点的变换叫做反演变换,点与点叫做互为反演点,⊙称为基圆.

 

 

 

 

 

 

 

 


⑴如图2,⊙内有不同的两点,它们的反演点分别是,则与∠一定相等的角是(    ▲   )

(A)∠        (B)∠       (C)∠          (D)∠

⑵如图3,⊙内有一点,请用尺规作图画出点的反演点;(保留画图痕迹,不必写画法).

⑶如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形,那么这两个图形叫做互为反演图形.已知基圆的半径为,另一个半径为的⊙,作射线交⊙于点,点关于⊙的反演点分别是,点为⊙上另一点,关于⊙的反演点为.求证:∠=90°.

 

 

(1)(C)

(2)过交⊙于点,连.

交射线于点.

即为所求.

(3)连.

是⊙直径,

∴∠=90°.

∵∠是△的外角,

∴∠-∠=∠.

∵点关于⊙的反演点分别是.

∴△

∴∠

同理:△

∴∠ 

由等式性质知:

-∠=∠-∠

∴∠=∠

即∠=90°

解析:此题主要考查的是相似三角形的判定与性质;点与圆的位置关系

 

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