Question

如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使得点C与AB的延长线上的点D重合，已知BC=8．
（1）三角尺旋转了多少度？连结CD，试判断△BCD的形状；
（2）求AD的长；
（3）边结CE，试猜想线段AC与CE的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠ABE=120°，
∴三角尺旋转了120度；
∵BC=BD，
∴△BCD为等腰三角形；

（2）在Rt△ABC，∠A=30°，BC=8，
∴AB=2BC=16，
∴AD=AB+BD=16+8=24；

（3）AC=CE．理由如下：连结CE，如图，
∵∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBC=60°，
∴∠ABC=∠EBC，
在△ABC和△EBC中
，
∴△ABC≌△EBC（SAS），
∴AC=CE．
分析：（1）根据题意得∠EBD=∠ABC=60°则∠ABE=120°，所以三角尺旋转了120度；根据旋转的性质得BC=BD，可判断△BCD为等腰三角形；
（2）含30度三角形三边的关系由∠A=30°，BC=8得到AB=2BC=16，则AD=AB+BD=24；
（3）由∠EBD=∠ABC=60°得到∠EBC=60°，根据“SAS”可判断△ABC≌△EBC，所以AC=CE．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30度三角形三边的关系和三角形全等的判定与性质．