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如图1,矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上,并且矩形ODEF∽矩形ABCO,其相似比为1:4,矩形ABCO的边AB=4,BC=4
3

(1)求矩形ODEF的面积;
(2)将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转90°,若旋转过程中OF与OA的夹角(图2中的∠FOA)的正切的值为x,两个矩形重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式;
(3)将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周,连接EC、EA,△ACE的面积是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,请说明理由.
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分析:(1)根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可;
(2)先求出矩形ODEF的边长为1、
3
,再分①当0≤x≤
3
3
时重叠部分是直角三角形和②当x<
3
3
是重叠部分是四边形,矩形ODEF剩余部分是直角三角形两种情况求解;
(3)旋转一周,点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆,所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离,也就是AC到圆上的点的距离,又最大值和最小值,最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和,最小值为点O到AC的距离与圆的半径的差,再利用三角形的面积公式求解即可.
解答:解:(1)∵矩形ODEF∽矩形ABCO,其相似比为1:4,
∴S矩形ODEF=
1
16
S矩形ABCO=
1
16
×4×4
3
=
3


(2)∵矩形ODEF∽矩形ABCO,其相似比为1:4,矩形ABCO的边AB=4,BC=4
3

∴OF=
3
,OD=1,
∴tan∠FOE=
3
3

①当0≤x≤
3
3
时,重叠部分是直角三角形,
y=
1
2
OF•OFtan∠FOA=
1
2
×
3
×
3
x=
3
2
x;
②当x>
3
3
时,重叠部分是四边形,
y=OD•OF-
1
2
OD•OD
1
tan∠FOA
=1×
3
-
1
2
×1×
1
x
=
3
-
1
2x


(3)存在.
∵OE=
OF2+OD2
=
3
2
+12
=2,
所以点E的轨迹为以点O为圆心,以2为半径的圆,
设点O到AC的距离为h,
AC=
AB2+BC2
=
42+(4
3
)
2
=8,
∴8h=4×4
3

解得h=2
3

∴当点E到AC的距离为2
3
+2时,△ACE的面积有最大值,
当点E到AC的距离为2
3
-2时,△ACE的面积有最小值,
S最大=
1
2
×8(2
3
+2)=8
3
+8,
S最小=
1
2
×8(2
3
-2)=8
3
-8.
点评:本题综合性较强,主要利用了相似多边形的性质,分情况讨论的思想,勾股定理,圆上的点到直线的距离的取值范围,综合考虑各知识点之间关系是解本题的关键.
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