Question

【题目】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠C=90°，tanB=，过点B的直线l是⊙O的切线，点D是直线l上一点，过点D作DE⊥CB交CB延长线于点E，连接AD，交⊙O于点F，连接BF、CD交于点G．

（1）求证：△ACB∽△BED；

（2）当AD⊥AC时，求 的值；

（3）若CD平分∠ACB，AC=2，连接CF，求线段CF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2） ；（3）.

【解析】

（1）只要证明∠ACB=∠E，∠ABC=∠BDE即可；

（2）首先证明BE：DE：BC=1：2：4，由△GCB∽△GDF，可得=；

（3）想办法证明AB垂直平分CF即可解决问题.

（1）证明：如图1中，

∵DE⊥CB，

∴∠ACB=∠E=90°，

∵BD是切线，

∴AB⊥BD，

∴∠ABD=90°，

∴∠ABC+∠DBE=90°，∠BDE+∠DBE=90°，

∴∠ABC=∠BDE，

∴△ACB∽△BED；

（2）解：如图2中，

∵△ACB∽△BED；四边形ACED是矩形，

∴BE：DE：BC=1：2：4，

∵DF∥BC，

∴△GCB∽△GDF，

∴=；

（3）解：如图3中，

∵tan∠ABC==，AC=2，

∴BC=4，BE=4，DE=8，AB=2，BD=4，

易证△DBE≌△DBF，可得BF=4=BC，

∴AC=AF=2，

∴CF⊥AB，设CF交AB于H,

则CF=2CH=2×.