Question

7．已知关于x的一元二次方程ax²+bx+$\frac{1}{5}$c=0，其中a，b，c是Rt△ABC的三边，a，b为直角边，c为斜边，若它的两根之比为2：3．
（1）求证：6b²=5ac；
（2）求方程的两根．

Answer 1

分析 （1）设两根分别为2k，3k，列出方程组，消去k即可证明．
（2）求出$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=25k²，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=900k⁴，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=900k⁴-25k²，由c²-b²=a²，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：∵两根之比为2：3，设两根分别为2k，3k，则有$\left\{\begin{array}{l}{2k+3k=-\frac{b}{a}}\\{2k•3k=\frac{c}{5a}}\end{array}\right.$，
由①得到k=-$\frac{b}{5a}$代入②得到6（-$\frac{b}{5a}$）²=5ac，
∴6b²=5ac．

（2）∵5k=-$\frac{b}{a}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=25k²，
∵6k²=$\frac{c}{5a}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=900k⁴，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=900k⁴-25k²，
∵c²-b²=a²，
∴900k⁴-25k²-1=0，
∴（45k²+1）（20k²-1）=0，
∴k²=$\frac{1}{20}$，
∵k＞0，
∴k=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴f方程的两根为$\frac{\sqrt{5}}{5}$和$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查根与系数关系，解题的关键是记住x₁+x₂=$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，学会用方程的思想思想思考问题，属于中考常考题型．