Question

11．观察下列各式及验证过程：
$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{2}{3}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{1}{2×3}}$=$\sqrt{\frac{2}{{2}^{2}×3}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{2}{3}}$；
$\sqrt{\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{3}{8}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）}$=$\sqrt{\frac{1}{2×3×4}}$=$\sqrt{\frac{3}{2×{3}^{2}×4}}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{3}{8}}$；
$\sqrt{\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{\frac{4}{15}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）}$=$\sqrt{\frac{1}{3×4×5}}$=$\sqrt{\frac{4}{3×{4}^{2}×5}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{\frac{4}{15}}$；
$\sqrt{\frac{1}{4}（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）}$=$\frac{1}{5}$$\sqrt{\frac{5}{24}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{4}（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）}$=$\sqrt{\frac{1}{4×5×6}}$=$\sqrt{\frac{5}{4×{5}^{2}×6}}$=$\frac{1}{5}$$\sqrt{\frac{5}{24}}$；
（1）按照上述四个等式及其验证过程的基本思路，猜想$\sqrt{\frac{1}{5}（\frac{1}{6}-\frac{1}{7}）}$的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥1为整数）表示的等式．

Answer 1

分析 （1）根据题中给出的例子即可得出结论；
（2）根据题意找出规律即可得出结论．

解答 解：（1）由题意可得，$\sqrt{\frac{1}{5}（\frac{1}{6}-\frac{1}{7}）}$=$\sqrt{\frac{1}{5×6×7}}$=$\sqrt{\frac{6}{5×{6}^{2}×7}}$=$\frac{1}{6}$$\sqrt{\frac{6}{35}}$；

（2）针对上述各式反映的规律可知，$\sqrt{\frac{1}{n}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）}$=$\sqrt{\frac{1}{n（n+1）（n+2）}}$=$\sqrt{\frac{n+1}{n（n+1）^{2}（n+2）}}$=$\frac{1}{n+1}$$\sqrt{\frac{n+1}{n（n+2）}}$．

点评 本题考查的是二次根式的性质与化简，根据题意找出规律是解答此题的关键．