【题目】如图,已知直线l:y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴交于A、B两点,A(﹣2,0),B(0,1).
(1)求直线l的函数表达式;
(2)若P是x轴上的一个动点,请直接写出当△PAB是等腰三角形时P的坐标;
(3)在y轴上有点C(0,3),点D在直线l上,若△ACD面积等于4,求点D的坐标.
【答案】(1)y=x+1;(2)点P的坐标为(﹣2﹣,0)或(﹣2,0)或(2,0)或(﹣,0);(3)点D的坐标为(2,2)或(﹣6,﹣2).
【解析】
v(1)利用待定系数法求一次函数解析式解答即可;
(2)利用勾股定理列式求出AB,再分PA=AB时点P在点A的左边和右边两种情况,PB=AB时,根据等腰三角形三线合一的性质写出点P的坐标,PA=PB时,利用∠PAB的余弦列式求出AP,再求出OP,然后写出点P的坐标即可;
(3)分点D在点B的右侧时,= +列方程求出点D的横坐标,再代入直线解析式计算即可得解;点D在点B的左侧时, =-列方程求出点D的横坐标,再代入直线解析式计算即可得解.
解:
(1)∵y=kx+b经过点A(﹣2,0),B(0,1),
∴,
解得,
所以,直线l的表达式为y=x+1;
(2)由勾股定理得,AB===,
①PA=AB时,若点P在点A的左边,则OP=2+,此时点P的坐标为(﹣2﹣,0),
若点P在点A的右边,则OP=﹣2,此时点P的坐标为(﹣2,0),
②PB=AB时,由等腰三角形三线合一的性质得,OP=OA,
所以,点P的坐标为(2,0),
③PA=PB时,设PA=PB=x,
在Rt△POB中,x2=12+(2﹣x)2
∴x=
∴AP=,OP=2﹣=,
∴点P得到坐标为(﹣,0),
综上所述,点P的坐标为(﹣2﹣,0)或(﹣2,0)或(2,0)或(﹣,0);
(3)∵B(0,1),C(0,3),
∴BC=3﹣1=2,
∵S△ABD=2,
∴点D在点B的右侧时,S△ACD=S△ABC+S△BCD,
=×2×(2+xD)=4,
解得xD=2,
此时y=×2+1=2,
点D的坐标为(2,2),
点D在点A的左侧时,S△ACD=S△BCD﹣S△ABC,
=×2×(﹣xD﹣2)=4,
解得xD=﹣6,
此时,y=﹣6×+1=﹣2,
点D的坐标为(﹣6,﹣2),
综上所述,点D的坐标为(2,2)或(﹣6,﹣2).
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【题目】如图甲,AB⊥BD,CD⊥BD,AP⊥PC,垂足分别为B、P、D,且三个垂足在同一直线上,我们把这样的图形叫“三垂图”.
(1)证明:ABCD=PBPD.
(2)如图乙,也是一个“三垂图”,上述结论成立吗?请说明理由.
(3)已知抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点(0,﹣3),顶点为P,如图丙所示,若Q是抛物线上异于A、B、P的点,使得∠QAP=90°,求Q点坐标.
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【题目】在同一直角坐标系中,直线y=﹣x+3与y=3x﹣5相交于C点,分别与x轴交于A、B两点.P、Q分别为直线y=﹣x+3与y=3x﹣5上的点.
(1)求△ABC的面积;
(2)若P、Q关于原点成中心对称,求P点的坐标;
(3)若△QPC≌△ABC,求Q点的坐标.
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【题目】如图,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(﹣2,0).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上有一点P,满足S△AOP=1,请直接写出点P的坐标.
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【题目】如图,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(﹣2,0).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上有一点P,满足S△AOP=1,请直接写出点P的坐标.
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【题目】如图,△ABC中,∠CAB=65°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AED的位置,使得DC∥AB,则∠BAE等于( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
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【题目】经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转,这三种可能性大小相同,现在两辆汽车经过这个十字路口.
(1)请用“树形图”或“列表法”列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果;
(2)求这两辆汽车都向左转的概率.
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【题目】已知过原点O的两直线与圆心为M(0,4),半径为2的圆相切,切点分别为P、Q,PQ交y轴于点K,抛物线经过P、Q两点,顶点为N(0,6),且与x轴交于A、B两点.
(1)求点P的坐标;
(2)求抛物线解析式;
(3)在直线y=nx+m中,当n=0,m≠0时,y=m是平行于x轴的直线,设直线y=m与抛物线相交于点C、D,当该直线与⊙M相切时,求点A、B、C、D围成的多边形的面积(结果保留根号).
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;
(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.
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