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【题目】如图,已知直线l:y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴交于A、B两点,A(﹣2,0),B(0,1).

(1)求直线l的函数表达式;

(2)若P是x轴上的一个动点,请直接写出当PAB是等腰三角形时P的坐标;

(3)在y轴上有点C(0,3),点D在直线l上,若ACD面积等于4,求点D的坐标.

【答案】(1)y=x+1;(2)点P的坐标为(﹣2﹣,0)或(﹣2,0)或(2,0)或(﹣,0);(3)点D的坐标为(2,2)或(﹣6,﹣2).

【解析】

v(1)利用待定系数法求一次函数解析式解答即可;

(2)利用勾股定理列式求出AB,再分PA=AB时点P在点A的左边和右边两种情况,PB=AB,根据等腰三角形三线合一的性质写出点P的坐标,PA=PB,利用∠PAB的余弦列式求出AP,再求出OP,然后写出点P的坐标即可;

(3)分点D在点B的右侧时,= +列方程求出点D的横坐标,再代入直线解析式计算即可得解;D在点B的左侧时, =-列方程求出点D的横坐标,再代入直线解析式计算即可得解.

解:

(1)∵y=kx+b经过点A(﹣2,0),B(0,1),

解得

所以,直线l的表达式为y=x+1;

(2)由勾股定理得,AB===

PA=AB时,若点P在点A的左边,则OP=2+,此时点P的坐标为(﹣2﹣,0),

若点P在点A的右边,则OP=﹣2,此时点P的坐标为(﹣2,0),

PB=AB时,由等腰三角形三线合一的性质得,OP=OA,

所以,点P的坐标为(2,0),

PA=PB时,设PA=PB=x,

在RtPOB中,x2=12+(2﹣x)2

∴x=

∴AP=,OP=2﹣=

点P得到坐标为(﹣,0),

综上所述,点P的坐标为(﹣2﹣,0)或(﹣2,0)或(2,0)或(﹣,0);

(3)∵B(0,1),C(0,3),

∴BC=3﹣1=2,

∵SABD=2,

点D在点B的右侧时,SACD=SABC+SBCD

=×2×(2+xD)=4,

解得xD=2,

此时y=×2+1=2,

点D的坐标为(2,2),

点D在点A的左侧时,SACD=SBCD﹣SABC

=×2×(﹣xD﹣2)=4,

解得xD=﹣6,

此时,y=﹣6×+1=﹣2,

点D的坐标为(﹣6,﹣2),

综上所述,点D的坐标为(2,2)或(﹣6,﹣2).

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