Question

2．已知实数x，y满足x²+$\sqrt{2}$y=$\sqrt{3}$，y²+$\sqrt{2}$x=$\sqrt{3}$，且x≠y，求x+y和xy的值．

Answer 1

分析 直接利用已知将原式变形进而结合完全平方公式将原式变形求出答案．

解答 解：∵x²+$\sqrt{2}$y=$\sqrt{3}$，y²+$\sqrt{2}$x=$\sqrt{3}$，
∴（x²+$\sqrt{2}$y）-（y²+$\sqrt{2}$x）=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=0，
∴（x+y）（x-y）-$\sqrt{2}$（x-y）=0，
∴（x-y）（x+y-$\sqrt{2}$）=0，
∵x≠y，
∴x+y-$\sqrt{2}$=0，
∴x+y=$\sqrt{2}$，
∴（x+y）²=x²+y²+2xy=2，
∵x²=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$y，y²=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$x，
∴x²+y²+2xy=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$（x+y）+2xy
=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$+2xy=2，
故2$\sqrt{3}$-2+2xy=2，
∴2xy=4-2$\sqrt{3}$
∴xy=2-$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了实数运算，正确利用已知将原式变形是解题关键．