Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．
（1）求证：BC²=BG•BF；
（2）若CB=

6

cm，FG=1cm，求FB的长．

Answer 1

分析：（1）先根据AB是直径可得出∠ACB=90°，再由CD⊥AB及相似三角形的判定定理可得出△FBC∽△CBG，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案；
（2）BG=x，由（1）的结论即可得出关于x的一元二次方程，求出x的值，进而可得出FB的长．

解答：（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，∠A+∠ABC=90°，（1分）
∵CD⊥AB，
∴∠ABC+∠BCD=90°，（1分）
∴∠A=∠BCD，（1分）
∵∠A=∠F，
∴∠F=∠BCD，（1分）
∵∠CBG=∠FBC，
∴△FBC∽△CBG（1分）
∴

CB

BG

=

FB

CB

（1分）
∴BC²=FB．BG（1分）

（2）解：设BG=x，由上可知(

6

)2=x(x+1)（2分）
解得x=2，x=-3x＞0，
∴BF=3cm（2分）

点评：本题考查的是圆周角定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是根据相似三角形的判定定理得出△FBC∽△CBG，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．