Question

18．若x₁，x₂是关于x的方程x²+ax+b=0的两个实数根，x₃，x₄是关于x的方程x²+cx+d=0的两个实数根，且x₁=x₃，x₂=-x₄，则称方程x²+ax+b=0与x²+cx+d=0互为“共轭方程”．如x²+8x+7=0与x²-6x-7=0，x²-2x-8=0与x²-6x+8=0，x²-8x+7=0与x²-6x-7=0互为“共轭方程”．
（1）判断关于x的方程x²+x-12=0与x²-x-12=0是否互为“共轭方程“，并说明理由．
（2）对于任意一个实数m，是否存在实数n，使得关于x的方程x²+2mx+n=0与x²-6x-n=0互为”共轭方程“，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别求出两方程的根，根据定义判断即可；
（2）可先假设互为“共轭方程”，令方程x²+2mx+n=0的两根为p、q，则方程x²-6x-n=0的两根为p、-q，由韦达定理可得p+q=-2m，pq=n，p-q=6，将其代入（p+q）²-4pq=（p-q）²可得m、n间需要满足的关系，从而做出判断．

解答 解：（1）不是，
解方程x²+x-12=0可得：x₁=3，x₂=-4，
解方程x²-x-12=0可得：x₃=-3，x₄=4，
∵x₁≠x₃，
∴方程x²+x-12=0与x²-x-12=0不是“共轭方程”；

（2）存在，
假设方程x²+2mx+n=0与x²-6x-n=0互为“共轭方程”，
令方程x²+2mx+n=0的两根为p、q，
则方程x²-6x-n=0的两根为p、-q，
根据题意可知，p+q=-2m，pq=n，p-q=6，
由（p+q）²-4pq=（p-q）²，可得4m²-4n=36，即n=m²-9
∴对于任意实数m，当存在实数n（n≥-9）时，两方程互为“共轭方程”．

点评 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，理解新定义并熟练掌握韦达定理是解题的关键．