Question

已知在中，，，于，点在直线上，，点在线段上，是的中点，直线与直线交于点.
（1）如图1，若点在线段上，请分别写出线段和之间的位置关系和数量关系：___________，___________；

（2）在（1）的条件下，当点在线段上，且时，求证：；
（3）当点在线段的延长线上时，在线段上是否存在点，使得．若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

试题分析：（1）有已给条件可猜想线段和之间的位置关系和数量关系是:⊥，=
（2）如图，过点A作AG⊥AB,且AG=BM,，连接CG、FG,延长AE交CM于H.
,,,从而证得△和△全等;,再证得△和△全等,得到,从而得,.
（3）点在线段的延长线上时，在线段上存在点，使得. 这时
试题解析：（1）⊥，=．
（2）如图，过点A作AG⊥AB,且AG=BM,，连接CG、FG,延长AE交CM于H.
∵,,
∴∠CAB=∠CBA=45°，AB=.

∴∠GAC=∠MBC=45°.
∵,
∴CD=AD=BD=.
∵是的中点,
∴.
∴.
∵,
∴
∴
∵AG⊥AF,
∴
∴
在△和△中，

∴△≌△．
∴．
∴．
在△和△中，

∴△≌△．
∴．
∴.
由（1）知⊥，
∴
∴.
（3）存在.