Question

如图(1)，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图(2)．

(1)问：始终与△AGC相似的三角形有________及________；

(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由)；

(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)△HGA及△HAB；(2分) 　　(2)由(1)可知△AGC∽△HAB，∴， 　　即，所以(5分) 　　(3)①当CG＜BC时，∠GAC＝∠H＜∠HAC， 　　∴AC＜CH　∵AG＜AC，∴AG＜GH， 　　又AH＞AG，AH＞GH，此时，△AGH不可能是等腰三角形； 　　②当CG＝BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形； 　　此时，GC＝，即x＝； 　　③当CG＞BC时，由(1)可知△AGC∽△HGA， 　　所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG＝AH； 　　若AG＝AH，则AC＝CG，此时x＝9；(11分) 　　综上，当x＝9或时，△AGH是等腰三角形．(12分)