Question

20．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-3，0），点B（0，3），点E、点F分别为OA，OB的中点，若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得到正方形OE′D′F′，若直线AE′与直线BF′相交于点P，则点P的纵坐标的最大值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+3}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+3}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}+3}{4}$

Answer 1

分析 先证△AOE′≌△BOF′得∠OAE′=∠OBF′，即可知∠CPB=∠AOC=90°，得点P、B、A、O四点共圆，由当点P在劣弧OB上运动时，点P的纵坐标随着∠PAO的增大而增大，找到使点P的纵坐标最大时点P的位置（点P与点D′重合时），然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值．

解答 解：如图1，

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转所得，
∴∠AOE′=∠BOF′．
在△AOE′和△BOF′中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOE′=∠BOF′}\\{OE′=OF′}\end{array}\right.$，
∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．
∴∠OAE′=∠OBF′．
∵∠ACO=∠BCE′，
∴∠CPB=∠AOC=90°
∴点P、B、A、O四点共圆，
∴当点P在劣弧OB上运动时，点P的纵坐标随着∠PAO的增大而增大．
∵OE′=$\frac{3}{2}$，
∴点E′在以点O为圆心，$\frac{3}{2}$为半径的圆O上运动，
∴当AP与⊙O相切时，∠E′AO（即∠PAO）最大，
此时∠AE′O=90°，点D′与点P重合，点P的纵坐标达到最大．
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图2所示．

∵∠AE′O=90°，E′O=$\frac{3}{2}$，AO=3，
∴∠E′AO=30°，AE′=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴AP=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$．
∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，
∴PH=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{3\sqrt{3}+3}{4}$．
∴点P的纵坐标的最大值为$\frac{3\sqrt{3}+3}{4}$，
故选：D．

点评 本题是在图形旋转过程中，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，而找到使点P的纵坐标最大时点P的位置是解决最后一个问题的关键．