分析 (1)①利用二次函数的性质确定抛物线y1的顶点坐标;
②利用抛物线yn=-(x-n)2+n的顶点坐标特征,即顶点的横纵坐标相等可判断该“系列抛物线”的顶点在第一、三象限的角平分线上;
③通过解方程-(x-n)2+n=0得到抛物线与x轴的两点坐标,从而得到抛物线与x轴的两交点之间的距离;
(2)如图1,抛物线的顶点为P(n,n),抛物线交x轴于G、K两点,作PH⊥x轴于H,则GK=2$\sqrt{n}$,根据等边三角形的性质得到∠PGK=60°,GH=KH=$\sqrt{n}$,再根据正切的定义可得n=$\sqrt{n}$tan60°,然后解方程即可;
(3)如图2,作PH⊥x轴于H,利用抛物线的对称性可得MN∥x轴,设M(t,-(t-n)2+t),则HM=n-t,PH=(t-n)2+n-t,再根据等边三角形的性质和正切的定义得到(t-n)2+n-t=$\sqrt{3}$(n-t),则可求出n-t=$\sqrt{3}$,则MN=2$\sqrt{3}$,PH=3,然后根据三角形面积公式可计算出S△PMN=3$\sqrt{3}$,于是可判断△PMN的面积不会随着n的变化而变化.
解答 解:(1)①抛物线y1的顶点坐标为(1,1);
②抛物线yn=-(x-n)2+n的顶点坐标为(n,n),即顶点的横纵坐标相等,
所以该“系列抛物线”的顶点在直线y=x上;
③当y=0时,-(x-n)2+n=0,解得x1=n-$\sqrt{n}$,x2=n+$\sqrt{n}$,则抛物线与x轴的两点坐标分别为(n-$\sqrt{n}$,0),(n+$\sqrt{n}$,0),
所以yn=-(x-n)2+n与x轴的两交点之间的距离为n+$\sqrt{n}$-(n-$\sqrt{n}$)=2$\sqrt{n}$;
故答案为(1,1),直线y=x,2$\sqrt{n}$;
(2)存在.
如图1,抛物线yn=-(x-n)2+n的顶点为P(n,n),抛物线交x轴于G、K两点,作PH⊥x轴于H,则GK=2$\sqrt{n}$,
∵△PGK为等边三角形,
∴∠PGK=60°,GH=KH=$\sqrt{n}$,
在Rt△PGH中,∵tan∠PGH=$\frac{PH}{GH}$,
∴n=$\sqrt{n}$tan60°,解得n1=3,n2=0(舍去),
∴当n为3时,使以yn=-(x-n)2+n的顶点及该抛物线与x轴两交点为顶点的三角形是等边三角形;
(3)△PMN的面积不会随着n的变化而变化.
如图2,作PH⊥x轴于H,
∵点P为抛物线的顶点,△PMN为等边三角形,
∴点M和点N为对称点,
∴MN∥x轴,
设M(t,-(t-n)2+t),则HM=n-t,PH=n-[-(t-n)2+t]=(t-n)2+n-t,
∵△PMN为等边三角形,
∴MH=NH,∠PMN=60°,
在Rt△PMH中,∵tan∠PMH=$\frac{PH}{MH}$,
∴(t-n)2+n-t=$\sqrt{3}$(n-t),
∴n-t=$\sqrt{3}$,即MH=$\sqrt{3}$,
∴MN=2MH=2$\sqrt{3}$,PH=3,
∴S△PMN=$\frac{1}{2}$•3•2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$,
即△PMN的面积不会随着n的变化而变化,它为定值3$\sqrt{3}$.
点评 本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等边三角形的性质;会求抛物线与x轴的交点坐标;理解坐标与图形性质.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-1,-$\frac{1}{2}$) | B. | (-1,$\frac{1}{2}$) | C. | (1,-$\frac{1}{2}$) | D. | (1,$\frac{1}{2}$) |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
选择意向 | 文学鉴赏 | 科学实验 | 音乐舞蹈 | 手工编织 | 其他 |
所占百分比 | a | 35% | b | 10% | c |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | y=-$\frac{4}{x}$ | B. | y=-$\frac{2}{x}$ | C. | y=$\frac{4}{x}$ | D. | y=$\frac{2}{x}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 顺时针旋转90° | B. | 顺时针旋转45° | C. | 逆时针旋转90° | D. | 逆时针旋转45° |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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