Question

1．一次函数的图象经过点A（2，0）、B（0，-2$\sqrt{3}$），P为直线AB上的动点，
（1）求直线AB的解析式；
（2）连结OP，求OP的最小值，并求此时点P的坐标；
（3）若S_△AOP=$\frac{1}{2}$S_△AOB，求点P的坐标；
（4）以AB为边作正△ABC，求出此时点C的坐标？
（5）若Q点在坐标轴上，且△AQB是等腰三角形．求出符合条件的点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）设出直线AB的解析式，将点A、点B的坐标代入，可求得直线AB的解析式；
（2）如图1所示：过点O作OP⊥AB，垂足为P，根据相互垂直的直线的特点可求得OP的解析式，然后将OP的解析式与AB的解析式联立组成方程组，从而可解得点P的坐标；
（3）由三角形的面积公式可求得点P的纵坐标，然后将点P的纵坐标代入直线AB的解析式从而可求得点P的横坐标；
（4）如图2所示，先证明∠BAC′=60°，∠OBC=90°，然后结合等边三角形的性质可求得点C的坐标；
（5）分别根据AB=AQ，BQ=BA，QB=QA画出如图3、图4、图5所示的图形，然后利用等腰三角形的性质进行计算即可．

解答 解：（1）设AB的解析式为y=kx+b，
将A（2，0）、B（0，-2$\sqrt{3}$）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
故直线AB的解析式为y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$．

（2）如图1所示：过点O作OP⊥AB，垂足为P．

设OP的解析式为y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
将y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}x$与y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$联立得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
故点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

（3）设点P的坐标为（x_p，y_p）．
∵S_△AOP=$\frac{1}{2}$S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}AO•$|y_P|=$\frac{1}{2}AO•OB$，即$\frac{1}{2}×2$×|y_p|=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$．
∴|y_p|=$\sqrt{3}$．
∴y_p=±$\sqrt{3}$．
将y=$\sqrt{3}$代入y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$得：x=3．
∴点P的坐标为（3，$\sqrt{3}$）．
将y=-$\sqrt{3}$代入y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$得：x=1．
所以点P的坐标为（1，$\sqrt{3}$）．
综上所述，点P的坐标为（3，$\sqrt{3}$）或（1，$\sqrt{3}$）．

（4）如图2所示：

在Rt△OAB中，AB=$\sqrt{{0A}^{2}+O{B}^{2}}$=4．
∵OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠ABO=30°．
①∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．BC=AB=4
∴∠OBA+∠ABC=30°+60°=90°．
∴点C的坐标为（4，-2$\sqrt{3}$）．
②当点C位于点C′处时．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC′=60°．
∵∠ABO=30°，
∴∠C′BO=∠ABO=30°．
又∵BC′=BA，
∴OC′=OA=2．
∴点C′的坐标为（-2，0）．
综上所述点C的坐标为（-2，0）或（4，-2$\sqrt{3}$）．

（5）①当AQ=AB时，点Q的坐标如图3所示：

当点Q位于点Q₁处时．
∵AQ₁=AB=4，
∴点Q₁的坐标为（-2，0）．
当点Q位于点Q₂处时．
∵AQ₂=AB，AO⊥OB，
∴OQ₂=OB=2$\sqrt{3}$．
∴点Q₂的坐标为（0，2$\sqrt{3}$）．
当点Q位于点Q₃处时．
∵AQ₃=AB=4，
∴点Q₃的坐标为（6，0）．
②当BQ=AB时，如图4所示：

当点Q位于点Q₄处时．
∵BQ₄=BA，OB⊥OA，
∴OQ₄=OA=2．
∴点Q₄的坐标为（-2，0）．
当点Q位于点Q₅处时．
∵BQ₅=BA=4，
∴点Q₅的坐标为（0，-2$\sqrt{3}$-4）．
当点Q位于点Q₆处时．
∵BQ₆=BA=4，
∴点Q₆的坐标为（0，-2$\sqrt{3}$+4）．
③当QB=QA时，如图5所示：

∵BQ=QA，
∴点Q₇、Q₈在AB的垂直平分线上．
∵点A、B的坐标分别为（2，0）、B（0，-2$\sqrt{3}$），
∴AB中点的坐标为（1，-$\sqrt{3}$）．
设直线Q₇Q₈的解析式为y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}x+b$，将点（1，-$\sqrt{3}$）代入得：b=$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴直线Q₇Q₈的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
将y=0代入得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}$=0．
解得：x=-2．
∴点Q₇的坐标为（-2，0）．
令x=0得：y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴点Q₈的坐标为（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
综上所述，点Q的坐标为（-2，0）或（0，2$\sqrt{3}$）或（6，0）或（0，-2$\sqrt{3}$-4）或（0，-2$\sqrt{3}$+4）或（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的图象的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．