Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA=PC，∠C=30°．

（1）求证：CP是⊙O的切线．
（2）若⊙O的直径为8，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OP，如图所示：

∵PA=PC，∠C=30°，

∴∠A=∠C=30°，

∴∠APC=120°，

∵OA=OP，

∴∠OPA=∠A=30°，

∴∠OPC=120°﹣30°=90°，

即OP⊥CP，

∴CP是⊙O的切线

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠APB=90°，

∴∠OBP=90°﹣∠A=60°，

∵OP=OB=4，

∴△OBP是等边三角形，

∴∠POC=60°，

∵OP⊥CP，

∴∠C=30°，

∴OC=2OP=2OB=8，

∴PC= = =4 ，

∴阴影部分的面积=扇形OBP的面积﹣△OBP的面积= ﹣ × ×4×4 = ﹣4 ．

【解析】（1）连接OP利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求出∠OPC=120°﹣30°=90°得CP是⊙O的切线；（2）利用直径所对的圆周角是直角及同圆的半径相等得△OBP是等边三角形，再由勾股定理得PC得长度，最后用阴影部分的面积=扇形OBP的面积﹣△OBP的面积即可。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用三角形的内角和外角和勾股定理的概念的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．