Question

如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE：EA=5：3，EC=10

5

，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，则
（1）AB=______，BC=______；
（2）若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的面积=______．

Answer 1

（1）∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC，AD=BC，
由BE：EA=5：3，设BE=5k，则EA=3k，
由折叠可知：EF=BE=5k，∠EFC=∠B=90°，
在Rt△AEF中，AE=3k，EF=5k，
根据勾股定理得：AF=4k，
又∵∠AFE+∠DFC=90°，∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠DFC=∠AEF，又∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DFC，
∴

AE

DF

=

AF

DC

，又AE=3k，AF=4k，DC=AB=AE+EB=8k，
∴DF=6k，
∴BC=AD=AF+FD=4k+6k=10k，
在Rt△EBC中，EC=10

5

，BC=10k，EB=5k，
根据勾股定理得：EC²=EB²+BC²，即500=25k²+100k²，
解得：k=2或k=-2（舍去），
则AB=8k=16，BC=10k=20；

（2）连接OM，ON，如图所示：

∵圆O为四边形BEFC的内切圆，
∴AB与圆O相切于点N，BC与圆O相切于M点，
∴∠ONB=∠OMB=90°，又∠B=90°，
∴四边形OMBN为矩形，又OM=ON，
∴四边形OMBN为正方形，设圆的半径为r，
∴OM=BM=r，又BC=20，
∴MC=BC-BM=20-r，
又∵∠OMC=∠B=90°，且∠OCM=∠ECB，
∴△OMC∽△EBC，
∴

OM

EB

=

MC

BC

，即

r

10

=

20-r

20

，
整理得：20r=200-10r，解得：r=

20

3

，
则圆O的面积S=πr²=

400

9

π．
故答案为：（1）16；20；（2）

400

9

π