Question

12．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC=α．
（1）当α=40°时，∠BPC=70°，∠BQC=125°；
（2）当α=60°时，BM∥CN；
（3）如图②，当α=120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；
（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=$\frac{1}{2}$∠PBC，∠QCB=$\frac{1}{2}$∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；
（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数；
（4）分别∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解．

解答 解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠BCE）=110°，
∴∠BPC=180°-110°=70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC=$\frac{1}{2}$∠PBC，∠QCB=$\frac{1}{2}$∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB=55°，
∴∠BQC=180°-55°=125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB=180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC=α，
∴$\frac{3}{4}$（∠DBC+∠BCE）=180°，
即$\frac{3}{4}$（180°+α）=180°，
解得α=60°；
（3）∵α=120°，
∴∠MBC+∠NCB=$\frac{3}{4}$（∠DBC+∠BCE）=$\frac{3}{4}$（180°+α）=225°，
∴∠BOC=225°-180°=45°；
（4）∵α＞60°，
∠BPC=90°-$\frac{1}{2}$α、
∠BQC=135°-$\frac{1}{4}$α、
∠BOC=$\frac{3}{4}$α-45°．
∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC=（90°-$\frac{1}{2}$α）+（135°-$\frac{1}{4}$α）+（$\frac{3}{4}$α-45°）=180°．
故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°．

点评 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．