Question

我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）如图甲，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0）A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；
（2）如图乙，若C（1，2），那么在图中所有格点中是否能找到一点D，使以CA、CB为勾股边的四边形ACBD是勾股四边形．如果能找到，请写出D点的坐标（不需要证明）；
（3）如图丙，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB=30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形．

Answer 1

分析：（1）根据勾股四边形的定义以及四边形是以OA、OB为勾股边且对角线相等的四边形，进而得出答案；
（2）利用勾股四边形的定义得出符合要求的点即可；
（3）首先过点C作EC⊥DC于点C，使EC=BC，连接DE，BE，得出△BCE是等边三角形，进而得出△ABC≌△DBE（SAS），即AC=ED，即可得出答案．

解答：（1）解：如图所示：P，P′都是符合要求的点；

（2）解：如图所示：
D（3，4），D′（4，4），D″（4，2）都是符合要求的点；

（3）证明：
如图丙，过点C作EC⊥DC于点C，使EC=BC，连接DE，BE，
∵∠DCB=30°，
∴∠3=60°，
∵BC=EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC=BE=EC，∠2=60°，
∴∠ABD+∠1=∠2+∠1，
即∠DBE=∠ABC，
∵在△ABC和△DBE中

BD=AB ∠DBE=∠ABC BE=BC

∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC=ED，
在Rt△DCE中，
DC²+CE²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²，
即四边形ABCD是勾股四边形．

点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定等知识，利用图形结合新定义得出符合要求的点是解题关键，注意不要漏解．