Question

【题目】如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）如图1，若∠BCA=80°，∠α=90°，问EF=BE-AF，成立吗？说明理由．

（2）将（1）中的已知条件改成∠BCA=∠β，∠α+∠β=180°（如图2），问EF=BE-AF仍成立吗？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）EF=BE-AF成立，理由见解析；（2）EF=BE-AF成立，理由见解析.

【解析】

（1）根据已知条件可得∠B=∠ACE，证明△BCE≌△ CAF，则有BE=CF，AF=EC，所以可得EF=BE-AF；

（2）根据∠BCA=∠β，∠BEC=∠α=180°－∠β可求得∠B=∠ACE，则可证明△BCE≌△ CAF，则有BE=CF，AF=EC，所以可得EF=BE-AF.

（1）EF=BE-AF成立，理由如下：

∵∠BCA=80°（已知），

∴∠BCE+∠ACE=80°

∵∠BEC=∠α=100°（已知），

∴∠BEF=180°－100°=80°（平角定义）.

∴∠B+∠BCE=80°（三角形外角和定理）

∴∠B=∠ACE（等量代换）.

在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△ CAF(AAS)

∴BE=CF，AF=EC（全等三角形对应边相等）.

∴EF=CF－CE=BE－AF（等量代换）.

（2）EF=BE-AF成立，理由如下：

∵∠BCA=∠β，

∴∠BCE+∠ACE=∠β

∵∠BEC=∠α=180°－∠β，

∴∠BEF=180°－∠α=∠β.

∴∠B+∠BCE=∠β.

∴∠B=∠ACE

在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△ CAF(AAS)

∴BE=CF，AF=EC

∴EF=CF－CE=BE－AF.