Question

【题目】如图所示，二次函数图象的顶点在原点O，且经过点（1，）.点F（0，1）在y轴上．直线y=－1与y轴交于点H．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设点P是（1）中图象上在第一象限内的动点，过点P作x轴的垂线与直线y=－1交于点M.

①求证：FM平分∠OFP；

②当△FPM是等边三角形时，试求P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）①详见解析；②点P的坐标为（2，3）．

【解析】

（1）根据二次函数图象的顶点在原点O，设二次函数的解析式为，将代入即可求出解析式；

（2）①过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，，结合平行线的性质，可得出结论.

②根据△FPM是等边三角形，可得∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，设P点坐标为，根据PF=PM=FM，可得关于的方程，求出的值，即可等得出答案.

（1）∵二次函数图象的顶点在原点O，

∴设二次函数的解析式为，

将点代入得，

∴二次函数的解析式为.

（2）①证明：∵点P在抛物线上，

∴可设点P的坐标为，

如右图，过点P作PB⊥y轴于点B，

则，，

∴Rt△BPF中，，

∵PM⊥直线，∴，

∴PF=PM.

∴∠PFM=∠PMF，

又∵PM∥轴，∴∠MFH=∠PMF，

∴∠PFM=∠MFH，

∴FM平分∠OFP.

②当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，

在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，

∵PF=PM=FM，∴，

解得：，（舍去-2）

∴，

∴满足条件的点P的坐标为（2，3）．