Question

16．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AB=2，点D是BC上的一个动点，D点关于AB，AC的对称点分别是E和F，四边形AEGF是平行四边形，则四边形AEGF的面积的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由对称的性质和菱形的定义证出四边形AEGF是菱形，得出∠EAF=2∠BAC=120°，当AE=AD最小时，菱形AEGF面积最小，求出AD=$\sqrt{2}$，即可得出四边形AEGF的面积的最小值．

解答 解：由对称的性质得：AE=AD=AF，
∵四边形AEGF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形，
∴∠EAF=2∠BAC=120°，
当AE=AD最小时，菱形AEGF面积最小，
∵∠ABC=45°，AB=2，
∴AD=$\sqrt{2}$，
∴四边形AEGF的面积的最小值=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$）²×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、对称的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．