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(2008•三明)如图,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.
[注:抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-).].

【答案】分析:(1)因为点A在抛物线上,所以将点A代入函数解析式即可求得;
(2)由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标,即可求得AB、BC、AC的长,由勾股定理的逆定理可得三角形的形状;
(3)首先可求得二次函数的顶点坐标,再求得C关于x轴的对称点C′,求得直线C′D的解析式,与x轴的交点的横坐标即是m的值.
解答:解:(1)∵点A(-1,0)在抛物线y=x2+bx-2上,
×(-1)2+b×(-1)-2=0,b=-
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2
y=x2-x-2=(x2-3x-4)=(x-2-
∴顶点D的坐标为(,-).(4分)

(2)当x=0时y=-2,
∴C(0,-2),OC=2.
当y=0时,x2-x-2=0,
∴x1=-1,x2=4,
∴B(4,0).(6分)
∴OA=1,OB=4,AB=5.
∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形.  (8分)

(3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′(0,2),OC′=2
连接C′D交x轴于点M,
根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小.  (9分)
解法一:设抛物线的对称轴交x轴于点E.
∵ED∥y轴,
∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.


∴m=12分
解法二:设直线C′D的解析式为y=kx+n,

解得n=2,k=-
∴y=-x+2.
∴当y=0时,-x+2=0,x=
∴m=.  (12分)
点评:此题考查了待定系数法求解析式,考查了二次函数与一次函数的综合应用,解题时要注意数形结合思想的应用.
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