Question

（本题12分）已知：如图，二次函数的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）.

1.（1）求该二次函数的关系式；

2.（2）写出该二次函数的对称轴和顶点坐标；

3.（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

4.（4）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）.问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

 

1.（1）由题意，得 ……………………………………1分

解得 所求二次函数的关系式为：．……………2分

2.（2）对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4.5）…………………………………… 4分

3.（3）设点的坐标为，过点作轴于点．

由，得，．

点的坐标为．……………………………5分

，．

，．，

即．．…………………6分

．……………………………………7分

又，

当时，有最大值3，此时．……………………………………8分

4.（3）存在．

在中．

（ⅰ）若，，．

又在中，，．．

．此时，点的坐标为．

由，得，．

此时，点的坐标为：或．………………………………10分

（ⅱ）若，过点作轴于点，

由等腰三角形的性质得：，，

在等腰直角中，．．

由，得，．

此时，点的坐标为：或．………………………………11分

解析:略