Question

已知抛物线．
（1） 求证：无论为任何实数，抛物线与轴总有两个交点；
（2） 若A、B是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和的值；
（3） 若反比例函数的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为，且满足2<<3，求k的取值范围.

Answer 1

（1）证明：令，得
，不论m为任何实数，都有，即，∴不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点
（2）抛物线的解析式为，
（3）

解析试题分析：（1）通过计算函数的值，由此可以写出一道表达式，再根据表达式的值恒大于零，可以算得抛物线有于x轴总有两个交点
（2）抛物线的对称轴为，∵抛物线上两个不同点A，B，的纵坐标相同，∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则
，∴，∴抛物线的解析式为，∵A在抛物线上，∴，化简，得，∴
（3）当时，对于，y随着x的增大而增大，对于，y随着x的增大而减小，所以当时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，得，解得，当时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，得，解得，所以k的取值范围为
考点：函数图象与x轴的交点问题，函数图象与解析式的转换，两个不同的函数图象的比较
点评：本题难度一般。第一小题较为容易，利用抛物线函数与一元二次方程方程的相似性，可以用来进行计算；第二小题，利用对称轴与函数图象上各点的对称性，算出m值，进而求出函数的解析式；第三小题，利用两个不同函数的单调性，进行比较