Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．

（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；

（2）若=60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：DF=BE

Answer 1

【答案】（1）15° （2）证明见解析

【解析】

（1）利用旋转性质得到CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，之后再算出∠ADE

（2）利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF=,则BF=AB,再根据旋转的性质得到∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE,DE=AB,从而得到DE=BF,接下来证明与全等得到DF=BC，然后得出DF=BE

解：如图1，∵绕点C顺时针旋转得到，点E恰好在AC上，

∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°

∵CA=CD

∴∠CAD=∠CDA=75°

∴∠ADE =90°－75°=15°

证明：连接AD，如图2，

∵点F是边AC中点，

∴BF= AC

∵∠ACB=20°

∴AB=

∴BF=AB

∵绕点C顺时针旋转60°得到

∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，，，

∴DE=BF，和为等边三角形，

∴BE=CB，

∵点F为的边AC的中点，

∴DF⊥AC，

易证得，

∴DF=BC，

∴DF=BE，