Question

10．如图1，在⊙O中，弦AB⊥弦CD，垂足为点E，连接AC、DB并延长相交于点P，连接AO，DO，AD，BC．
（1）求证：∠AOD=90°+∠P；
（2）如图2，若AB平分∠CAO，求证：AD=AB；
（3）如图3，在（2）的条件下，若OA=5，PB=$\frac{15}{4}$，求四边形ACBD的面积．

Answer 1

分析 （1）因为$\widehat{BC}=\widehat{BC}$，所以∠CAE=∠CDB，又∠AOD=2∠ACD，所以∠AOD=∠ACD+（∠CDB+∠P）=∠ACD+∠CAE+∠P=90°+∠P；
（2）延长AO交BD于点F，交CD于G，由于∠CAB+∠ACG=∠DGF+∠CDB，所以∠GFD=90°，所以AF垂直平分线段BD；
（3）利用∠AOD=90°+∠P，所以∠HBP=90°，由因为OA=AH=HB=5，所以由勾股定理可求得PH=$\frac{25}{4}$，所以tan∠PHB=tan∠BAD，设AE=4m，ED=3m，所以AB=AD=5m，EB=m，HM=$\frac{5}{6}m$，再利用勾股定理可求得m的值，求出AB和CD的长度后，利用四边形的面积为$\frac{1}{2}$AB•CD即可得答案．

解答 （1）证明：∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE+∠ACD=90°
∵$\widehat{BC}=\widehat{BC}$，
∴∠CAE=∠CDB
∵$\widehat{AD}=\widehat{AD}$，
∴∠AOD=2∠ACD，
∵∠ACD=∠CDB+∠P
∴∠AOD=∠ACD+（∠CDB+∠P）=∠ACD+∠CAE+∠P=90°+∠P；

（2）如图1，延长AO交BD于点F，交CD于G，
∵AB平分∠CAO，AB⊥CD，
∴AC=AG，
∴∠ACG=∠AGC，
∵∠AGC=∠DGF，∠CAB=∠CDB，
∴∠CAB+∠ACG=∠DGF+∠CDB，
∴∠GFD=90°，
由垂径定理可知：AF垂直平分线段BD，
∴AB=AD；

（3）过点O作OM⊥AB于点M，交AC于点H，
连接HB，
设∠CAB=α，
∴由（2）可知：∠CAB=∠BAO=∠DAO=α，
∴∠ACD=90°-α，∠PHB=2α，
∠AOD=2∠ACD=2（90°-α）=180°-2α，
由（1）可知：∠AOD=90°+∠P，
∴∠PHB+∠P=2α+∠P=2α+∠AOD-90°=90°，
由（2）可知：AH=AO，
由垂径定理可知：AH=HB，
∴HB=AO=5，
∵PB=$\frac{15}{4}$，
∴由勾股定理可知：PH=$\frac{25}{4}$，
∵∠PHB=∠DAB=2α，
∴tan∠PHB=tan∠DAB=$\frac{PB}{HB}$=$\frac{3}{4}$，
∴设AE=4m，ED=3m，
∴由勾股定理可知：AD=5m，
∵AB=AD=5m，
∴EB=5m-4m=m，
∵∠CDB=∠CAB，
∴tan∠CDB=tan∠BAO=$\frac{EB}{ED}$=$\frac{1}{3}$，
∵由垂径定理可知：AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$m，
∴tan∠BAO=$\frac{OM}{AM}$，tan∠CAE=$\frac{CE}{AE}$，
∴OM=$\frac{5}{6}m$，CE=$\frac{4}{3}m$，
∴CD=$\frac{13}{3}$m，
∵由勾股定理可知：AO²=AM²+OM²，
∴5²=（$\frac{5}{2}$m）²+（$\frac{5}{6}$m）²，
∴m=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴四边形ACBD的面积为：$\frac{1}{2}$AB•CE+$\frac{1}{2}$AB•ED=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{65}{6}$m²=39．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等量代换，垂径定理，勾股定理等知识，考查学生综合运用知识的能力．