Question

如图，在平面直角坐标系中，A、C、D的坐标分别是（1，2）、（4，0）、（3，2），点M是AD的中点．
小题1:求证：四边形AOCD是等腰梯形；
小题2:动点P、Q分别在线段OC和MC上运动，且保持∠MPQ=60°不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
小题3:在（2）中：试探究当点P从点O首次运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长．

Answer 1

小题1:见解析
小题2:
小题3:当P点从O点运动到点E(3，0)时，Q点运动的路径长为个单位

(1)∵ y_A=y_B= ∴ AD//OC，
又线段AD、OC有共同对称轴直线x=2，
∴OA=CD且AD≠OC
∴ 梯形AOCD是等腰梯形 …………………………… 4分

(2)易证△OMC是等边三角形 所以OM=OC=MC=4
∠MDC=∠QCP=60°  又∠MPQ="60°"
∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°
∴∠2=∠3  所以△OMP∽△CPQ 
∴ 
化为  …………………………… 8分
(3)∵0≤x≤4

∴ x=2时，y_min=3 即MQ=3
x=0时， y=4  即MQ=4
x=3时， y= 即MQ=
当0≤x≤2时，Q点运动路径长为4-3=1
当2<x≤3时，Q点运动路径长为
∴当P点从O点运动到点E(3，0)时，
Q点运动的路径长为个单位