Question

【问题】如图17-1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．
分析根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图17-2），然后连结PP′．
解决问题请你通过计算求出图17-2中∠BPC的度数；
类比研究如图17-3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2.
（1）∠BPC的度数为       ；（2）直接写出正六边形ABCDEF的边长为         ．

Answer 1

解：【解决问题】
根据【分析】中的思路，得到如图6所示的图形，

根据旋转的性质可得PB="P′B," PC=P′A,
又因为BC="AB," ∴△PBC≌△P′BA，
∴∠PBC=∠P′BA ，∠BPC=∠BP′A , PB= P′B=，
∴∠P′BP=90°，所以△P′BP为等腰直角三角形，
则有P′P=2，∠BP′P=45°．                           ……………………2分
又因为PC=P′A=1，P′P =2，PA=，
满足P′A²+ P′P²= PA²，由勾股定理的逆定理可知∠AP′P=90°，  ……………4分
因此∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°．                  ……………………6分
【类比研究】（1）120°；                             ……………………8分
（2）．                            ……………………10分
参考提示：
（1）仿照【分析】中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，然后连结PP′．如图7所示，根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，

△BPP′为等腰三角形，PB= P′B=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A，
∵∠ABC=120°，∴∠PBP′=120°，∠BP′P=30°，
∴求得PP′=，
在△APP′中，∵PA=，PP′=，P′A=2，
满足P′A²+ P′P²= PA²，所以∠AP′P=90°．
∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°．
（2）延长A P′ 做BG⊥AP′于点G，如图8所示，

在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，
所以P′G=2，BG=，则AG=" P′G" +P′A =2+2=4，
故在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB=．  

解析