【问题】如图17-1,在正方形ABCD内有一点P,PA=,PB=
,PC=1,求∠BPC的度数.
分析根据已知条件比较分散的特点,我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起,于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到了△BP′A(如图17-2),然后连结PP′.
解决问题请你通过计算求出图17-2中∠BPC的度数;
类比研究如图17-3,若在正六边形ABCDEF内有一点P,且PA=,PB=4,PC=2.
(1)∠BPC的度数为 ;(2)直接写出正六边形ABCDEF的边长为 .
解:【解决问题】
根据【分析】中的思路,得到如图6所示的图形,
根据旋转的性质可得PB="P′B," PC=P′A,
又因为BC="AB," ∴△PBC≌△P′BA,
∴∠PBC=∠P′BA ,∠BPC=∠BP′A , PB= P′B=,
∴∠P′BP=90°,所以△P′BP为等腰直角三角形,
则有P′P=2,∠BP′P=45°. ……………………2分
又因为PC=P′A=1,P′P =2,PA=,
满足P′A2+ P′P2= PA2,由勾股定理的逆定理可知∠AP′P=90°, ……………4分
因此∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°. ……………………6分
【类比研究】(1)120°; ……………………8分
(2). ……………………10分
参考提示:
(1)仿照【分析】中的思路,将△BPC绕点B逆时针旋转120°,得到了△BP′A,然后连结PP′.如图7所示,根据旋转的性质可得:△PBC≌△P′BA,
△BPP′为等腰三角形,PB= P′B=4,PC=P′A=2,∠BPC=∠BP′A,
∵∠ABC=120°,∴∠PBP′=120°,∠BP′P=30°,
∴求得PP′=,
在△APP′中,∵PA=,PP′=
,P′A=2,
满足P′A2+ P′P2= PA2,所以∠AP′P=90°.
∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°.
(2)延长A P′ 做BG⊥AP′于点G,如图8所示,
在Rt△P′BG中,P′B=4,∠BP′G=60°,
所以P′G=2,BG=,则AG=" P′G" +P′A =2+2=4,
故在Rt△ABG中,根据勾股定理得AB=.
解析
科目:初中数学 来源: 题型:
【问题】如图17-1,在正方形ABCD内有一点P,PA=,PB=
,PC=1,求∠BPC的度数.
分析根据已知条件比较分散的特点,我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起,于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到了△BP′A(如图17-2),然后连结PP′.
解决问题请你通过计算求出图17-2中∠BPC的度数;
类比研究 如图17-3,若在正六边形ABCDEF内有一点P,且PA=,PB=4,PC=2.
(1)∠BPC的度数为 ; (2)直接写出正六边形ABCDEF的边长为 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源:2012-2013学年浙江省湖州十一中九年级第二学期期中考试数学试卷(带解析) 题型:解答题
【问题】如图,在正方形ABCD内有一点P,PA=,PB=
,PC=1,求∠BPC的度数.
分析根据已知条件比较分散的特点,我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起,于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到了△BP′A(如图),然后连结PP′.
解决问题请你通过计算求出图17-2中∠BPC的度数;
【类比研究】如图,若在正六边形ABCDEF内有一点P,且PA=,PB=4,PC=2.
(1)∠BPC的度数为 ;(2)直接写出正六边形ABCDEF的边长为 .
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科目:初中数学 来源:2011-2012学年河北石家庄初中毕业班教学质量检测数学试卷(解析版) 题型:解答题
【问题】如图17-1,在正方形ABCD内有一点P,PA=,PB=
,PC=1,求∠BPC的度数.
分析根据已知条件比较分散的特点,我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起,于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到了△BP′A(如图17-2),然后连结PP′.
解决问题请你通过计算求出图17-2中∠BPC的度数;
类比研究 如图17-3,若在正六边形ABCDEF内有一点P,且PA=,PB=4,PC=2.
(1)∠BPC的度数为 ; (2)直接写出正六边形ABCDEF的边长为 .
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